【COCI 2012】Germ

题目大意

一棵$n$层的满二叉树，叶子从左到右编号为$0$到$2^n-1$
现在你可以选择任意个非叶子节点，交换它们的左右儿子。
通过这种方式生成的所有序列$\{ A_{2^n-1} \}$中，求

$\sum_{i=0}^{2^n-2}W_{A_i,A_{i+1}}$

的最小值。其中$W$是给定的$(2^n-1)\times(2^n-1)$矩阵

$n<=9$

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思路

骗分算法

设$f(l, r, x, y)$表示$[l, r)$区间中，最左是数$x$，最右是数$y$，最小的权值代价，转移很显然。
$f(l, r, x, y)=f(l, mid, x, a)+f(mid, r, b, y)+W_{a,b}$
理论上界时间复杂度$O((2^{5n}))$

正解

设$f_{i, j}$表示当前要放第$i$个位置，前一个数是$j$的最小代价。
假若直接枚举下一个取的数$k$，显然会有很多无效的状态。
哪些状态是有效的呢？
记lowbit=i&-i，则$lca(j, k)$在$lowbit$的上一层。
那么$j$和$k$的$lowbit$这一位必须不同，$lowbit$之前的位必须相同，后面的位随意。
不难得出$k$的可取范围为$[bg, en)$，其中
bg = (j^lowbit) & ~(lowbit-1)
en = bg + lowbit

理论时间复杂度上界$O(n^3)$