BZOJ 2186 [Sdoi2008] 沙拉公主的困惑 逆元/欧拉定理

题目大意：有T次询问，给定一个质数R作为模数。每组询问给定n和m，求1至N!中与M!互质的数的数量对R取模后的值。
数据范围T<=10000

求[1,N!]中有多少数与M!互质…好像不会

但是我们可以求[1,M!]中有多少数与M!互质。

我们有欧拉函数 $\varphi(M!)=M!(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})(1-\frac{1}{p_3})\cdots(1-\frac{1}{p_n})$
$\varphi(M!)$即[1,M!]中与M!互质的数的个数，$p_i$即M!的质因数，每种质因数只有一个。

现在想办法怎么把区间扩大到[1,N!]。

不难发现，若一个数x与y互质，那么x+ky也一定与y互质1。

N>M，所以N!一定是M!的倍数，把y换成M!，把[1,M!]内的数都加上kM!，就得到了[kM!+1,(k+1)M!]的答案，最后的答案 $ans=(\varphi(M!)\times\frac{N!}{M!})\%R$
把欧拉函数展开得到

所以O(n)预处理出（伪）欧拉函数，阶乘，O(1)回答询问

#include <cstdio>
#include <cmath>
#define N 10000005
using namespace std;
typedef long long LL;
LL phi[N],fac[N],inv[N];
bool prime[N];
int main(){
    int T,MOD;
    scanf("%d%d",&T,&MOD);
    //initialize
    fac[1]=inv[1]=phi[1]=1;
    int lim=sqrt(N+0.5);
    for(int i=2;i<=lim;i++) if(!prime[i])
        for(int j=i*i;j<=N;j+=i) prime[j]=true;
    for(int i=2;i<=N;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%MOD;
    for(int i=2;i<=N;i++) inv[i]=(MOD-MOD/i)*inv[MOD%i]%MOD;
    for(int i=2;i<=N;i++)//计算i!对于MOD取模的除以i!以后的欧拉函数值
        if(!prime[i]) phi[i]=phi[i-1]*(i-1)%MOD*inv[i%MOD]%MOD;
        else phi[i]=phi[i-1];
    //query
    while(T--){
        int n,m;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        printf("%lld\n",fac[n]*phi[m]%MOD);
    }
    return 0;
}

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1. x与y互质，说明x不是y的倍数，x+y当然也不是y的倍数，所以x+y也与y互质（这不是废话吗） ↩