NOIP2016 模拟赛 By C_SUNSHINE Simple 数论

题目大意：对于给定正整数 a,b，我们称正整数c为好的，当且仅当存在非负整数a,b，使得 a*x+b*y=c。 现在给出多组数据，对于每组数据，给定 a,b,q，求[1,q]内有多少个正整数不是好的。a<=1e5,b<=1e9,q<=1e18,T<=10

好吧是我弱鸡想不出怎么做只好敲了60分暴力…(看数据范围猜出来是枚举n然而并没想出来)

现在要求出[1,q]有多少数是不好的，也就是q-好数的个数。

现在问题转化为如何求好数的个数。

显然好数c=xa+yb<=q，a,b,q一定，问题转化为找出有几组x,y使得c<=q且c互不相同。不难想到枚举y，这样可以在O(1)时间内计算出x有多少个可能的值。但是y要枚举到大于q为止，其中x,y计算出的c还有可能重复，怎么解决呢？

我们先看什么时候会出现重复。首先枚举y=0，可以在数轴上标记出目前找出的c

再枚举y=1，这时又找出了一些数，相当于把目前已经找出来的数向右平移了b个单位

接着往下枚举，可以发现，每次出现的c就相当于把第一次出现的c向右平移了yb个单位。当yb是a的倍数时(即满足xa=yb)，才会与y=0时产生的c重合1，在此之前都不会发生重复。

这时y等于多少？将b移到等式另一边，变成y=xa/b，而y必须是一个整数，因为是第一次重复，所以应使y尽量小。那么x就应该尽量小，此时x=b/(a,b)，注意x,y都为整数

重合后，再向右平移b个单位，就会与y=1时产生的c重合，也就是说接着枚举也不会再产生新的数。

这样，我们在[ 0 , b/(a,b) )的区间内枚举y,计算答案即可。

#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL gcd(LL a,LL b) { return !b ? a : gcd(b,a%b); }
int main() {
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--) {
        LL a,b,q,cnt=0;
        scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&q);
        LL lim=a/gcd(a,b);
        for(int y=0;y<lim;y++) {
            if(q-b*y<0) break;
            cnt+=(q-b*y)/a+1;
        }
        cnt--;
        printf("%lld\n",q-cnt);
    }
    return 0;
}

---

1. 第一次出现的c是所有小于q的a的倍数，即所有能表示成x’a<=q的形式的数。若yb是a的倍数，xa+yb就可以表示成(x+y’)a的形式，也就与第一次发生了重合。 ↩