HDU 6189 Law of Commutation（数论）

Description

给出两正整数$a,n$，令$m=2^n$，对于任意$b\in [1,m]$，求满足$a^b\equiv b^a(mod\ m)$的$b$的个数

Input

多组用例，每组用例输入两正整数$n,a(1\le n\le 30,1\le a\le 10^9)$

Output

对于每组用例，输出满足方程的$b$的个数

Sample Input

2 3
2 2

Sample Output

1
2

Solution

若$a$为奇数，则$a^b\ mod\ m$为奇数，若$b$为偶数，则$b^a\ mod\ m$为偶数，矛盾，故$b$为奇数

对于一个奇数$x=2k+1$，$x^2=4k^2+4k+1=4k(k+1)+1$，进而$x^2\equiv 1(mod\ 2^3)$，$x^2=8k+1$，$x^4=(8k+1)^2=64k^2+16k+1$，进而$x^4\equiv 1(mod\ 2^4)$，以此类推有$x^{2^y}\equiv 1(mod\ 2^{y+2})$

由$a^b\equiv a(mod\ 2^3),b^a\equiv b(mod\ 2^3)$得$a\equiv b(mod\ 2^3)$

由$a^b\equiv a^{b\%4}(mod\ 2^4),b^a\equiv b^{a\%4}(mod\ 2^4)$，且$a\%4=b\%4$，故有$a\equiv b(mod\ 2^4)$

（$(b,2^4)=1$，故$b$在模$2^4$意义下有逆元$b^{-1}$，进而有$(ab^{-1})^x\equiv 1(mod\ 2^4)$，其中$x=a\%4$为奇数，由于$x\not|\phi(2^4)=2^{3}$，故有$ab^{-1}\equiv 1(mod\ 2^4)$，即$a\equiv b(mod\ 2^4)$）

以此类推得$a\equiv b(mod\ 2^n)$，即$b=a\%m$，这说明解至多一个，而显然$a^a\equiv a^a(mod\ m)$，故解唯一

若$a$为偶数，同理可证明$b$为偶数，由于$a^b\equiv 2^b\cdot (\frac{a}{2})^b(mod\ 2^n)$，故当$b>n$时，$a^b\equiv 0(mod\ 2^n)$，进而$b^a\equiv 0(mod\ 2^n)$，对于任意$b\in[1,m]$，将$b$表示为$b=c\cdot 2^x$，其中$c$为奇数，那么有$2^{ax}\equiv 0(mod\ 2^n)$，此式等价于$ax\ge n$，故$x\ge \lceil\frac{n}{a}\rceil$，令$x=\lceil\frac{n}{a}\rceil$，此时区间$(n,m]$内满足$2^x|b$的$b$有$(m>>x)-(n>>x)$个，当$b\le n$时，由于$n\le 30$，暴力枚举判方程是否成立即可

Code

#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
int mod_pow(int a,int b,int c)
{
    int ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)ans=(ll)ans*a%c;
        a=(ll)a*a%c;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int n,a;
    while(~scanf("%d%d",&n,&a))
    {
        int m=1<<n;
        if(a&1)printf("1\n");
        else
        {
            int ans=0;
            for(int b=2;b<=n;b+=2)
                if(mod_pow(a,b,m)==mod_pow(b,a,m))ans++;
            int x=(n+a-1)/a;
            ans+=(m>>x)-(n>>x);
            printf("%d\n",ans);
        }
    }
    return 0;
}