hdu6189 Law of Commutation(数论)

最新推荐文章于 2021-02-28 20:28:04 发布

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本文探讨了在解决特定算法题目时所采用的数论思维及步骤，通过分析奇偶性和模运算特性，提出了判断两个数在特定范围内是否相等的有效方法。文章详细解析了代码实现，并强调了理解推导过程的重要性。

题目

给定两正整数n,a(n<=30,1<=a<=1e9)，令m= $2^{n}$ ，

求[1,m]内满足 $a^{b}=b^{a}(mod\ m)$ 的b的个数

思路来源

https://blog.youkuaiyun.com/v5zsq/article/details/79325038

题解

转载一下思路来源的证明，附一点说明和心得

①若a为奇数，则 $a^{b}(mod\ m)$ 为奇数；若b为偶数，有 $b^{a}(mod\ m)$ 为偶数

所以mod m之后的奇偶只与底数有关，故a、b同奇偶

② $a\equiv b(mod\ 2^{3})$ 之后，显然有 $a\equiv b(mod\ 2^{2})$ 即a%4==b%4，把a和b展成8x+y的形式，由y相同得证

③起初有 $a^{a\%4}\equiv b^{b\%4}(mod\ m)$ 且a%4==b%4，这时a%4只可能为1或3

(1)a%4=1，显然有 $a\equiv b(mod\ m)$

(2)a%4=3时，由 $(ab^{-1})^{\phi{(2^{4})}}=(ab^{-1})^{8}\equiv 1(mod\ m)$ 和 $(ab^{-1})^{3}\equiv 1(mod\ m)$ ，二者辗转相除即得 $(ab^{-1})\equiv 1(mod\ m)$

④(m>>x)-(n>>x)也就是 $\frac{m}{2^{x}}-\frac{n}{2^{x}}$ ，

重在理解推导过程，培养数论思维

实际上机的时候，要求偶数会推，奇数能打表打出结论

代码

#include<set>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector> 
#include<cmath>
using namespace std;
int m,n,x,a,ans;
int modpow(int x,int n,int mod)
{
	int res=1;
	for(;n;x=1ll*x*x%mod,n>>=1)
	if(n&1)res=1ll*res*x%mod;
	return res;
}
int main()
{
	while(~scanf("%d%d",&n,&a))
	{
		m=1<<n;
		if(a&1)//a b同奇 
		{
			puts("1");
			continue;
		}
		//a b同偶 
		x=(n+a-1)/a;//n/a向上取整 
		ans=(m>>x)-(n>>x);
		for(int b=2;b<=n;b+=2)
		if(modpow(a,b,m)==modpow(b,a,m))ans++;
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}