HDU——6189 Law of Commutation（数论+打表找规律）

As we all know, operation ''+'' complies with the commutative law. That is, if we arbitrarily select two integers aa and bb, a+ba+b always equals to b+ab+a. However, as for exponentiation, such law may be wrong. In this problem, let us consider a modular exponentiation. Give an integer m=2nm=2n and an integer aa, count the number of integers bb in the range of [1,m][1,m] which satisfy the equation ab≡baab≡ba (mod mm).

Input

There are no more than 25002500 test cases. 

Each test case contains two positive integers nn and a seperated by one space in a line. 

For all test cases, you can assume that n≤30,1≤a≤109n≤30,1≤a≤109.

Output

For each test case, output an integer denoting the number of bb. 

Sample Input

2 3
2 2

Sample Output

1
2

题意：题意：给定n,a，其中令2^n=m，现求区间[1,m]内有多少个b满足，a^b%m=b^a%m。

题解：打表发现a为奇数时，答案肯定为1，这个规律很容易看出，然后a为偶数时，m一定为偶数(因为m是2^n)，所以a^b%m的结果也为偶数，那么b^a%m的结果也必须为偶数，所以b必须为偶数，a为偶数那么一定可以写成2*x(构造的一种方法)，所以a^b=2^b*x^b，又m=2^n，所以可以发现如果 b>=n 那么a^b%m一定为0（带进去就可以发现），这个时候就就需要分类讨论，由于题目数据中n非常小，所以b<=n时直接暴力求解（带着等号是因为我们最后需要减去n/minn,待会看代码），那么b>n时，我们已经知道a^b%m=0所以我们需要b^a%m同样为0，因为b为偶数，那么b一定可以表示为2^x*y（这个构造很奇妙，也很好理解，不过不好想），那么b^a=2^ax*y^a，我们令y取得最小值1，b^a=2^ax，b^a(2^ax)%m(2^n)=0（b^a%m），所以需要ax>=n，解得x>=n/a(注意：这里n/a应该向上取整，向下取整会造成ax<n的情况)，所以我们就这样找到最小满足条件的x（这样求出来的x是最小的，读者自行化简上面的式子，可令y为任何值，化简，求出最小值的结果是一样的）），然后求出1~m以内2^x的倍数即可(注意把n以内的答案减去，因为n以内的答案暴力时求过一遍，即：暴力求的结果包括a^b%m=偶数的结果，包括了a^b%m=0的结果)。

上代码：

打表代码：

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,z;
ll m;
ll quick(ll a,ll b){
	ll ans=1;
	while(b){
		if(b&1) ans=(ans*a)%m;
		b>>=1;
		a=(a*a)%m;
	}
	return ans;
}
int main(){
    //i为n，j为a
	for (int i = 1; i <= 20;i++){
		for (int j = 2; j <= 30;j++){
			ll ans=1;
			ll z=j;
			for (int r = 1; r <= i;r++){
				ans=ans*2ll;
			}
			m=ans;
			ll sum=0;
			for (int k = 1; k <= ans;k++){
				if(quick(z,k)==quick(k,z)){
					sum++;
				}
			}
			cout << i << " " << j << " " << sum << endl;//i为n，j为a
		}
	}
	return 0;
}

正解代码：

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,a,m;
ll quick(ll x,ll y){
	ll ans=1;
	while(y){
		if(y&1) ans=ans*x;
		y>>=1;
		x=x*x;
	}
	return ans;
}
ll quick(ll x,ll y,ll m){
	ll ans=1;
	while(y){
		if(y&1) ans=(ans*x)%m;
		y>>=1;
		x=(x*x)%m;
	}
	return ans;
}
int main(){
	while(cin >> n >> a){
		if(a&1){//a为奇数
			cout << 1 << endl;
			continue;
		}
		m=(1ll<<n);
		ll sum=0;
		for (int b = 1; b <= n;b++){//暴力求解<=n的
			if(quick(a,b,m)==quick(b,a,m)){
				sum++;
			}
		}
		ll minx=n/a;//最小x
		if(minx*a<n) minx++;//向上取整
		ll minn=quick(2ll,minx);//最小2^x
		ll ans=m/minn-n/minn+sum;//这里减去n/minn所以暴力求解包括n的值，因为n也可能是
		cout << ans << endl;
	}
	return 0;
}