51nod 1201 整数划分

最新推荐文章于 2021-05-04 13:09:49 发布

SwustLpf

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这篇博客探讨了一道51nod上的1201号问题，涉及整数划分的动态规划解决方案。作者解释了如何使用dp[i][j]来表示数i由j种不同的数构成的情况，并详细描述了状态转移方程，即dp[i][j]可以从dp[i-j][j]和dp[i-j][j-1]转移过来。文章指出，由于i的最大值受限于j的平方，因此有i >= j * j / 2的条件限制。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1201
又是一道不看题解我根本想不到的dp题(；´д｀)ゞ
$dp[i][j]$ 表示 $i$ 这个数是由 $j$ 种不同的数组成的
那么怎么转移喃？
你看：
比如 $dp[6][3]=\big \{1,2,3\}$
如果这 $j$ 个数要是都加1，是不是就是转移到 $dp[i+j][j]$ 上了
即： $dp[9][3]=\{2,3,4\}$ ，而这种最小都是 $2$ ，那就还阔以再加个 $1$
即： $dp[10][4]=\{1,2,3,4\}$
所以 $dp[i][j]$ 阔以向 $dp[i+j][j],dp[i+j+1][j+1]$ 两个方向转移

那么倒过来：
$dp[i][j]$ 就会有两个方向转移而来，就是：
$dp[i][j]=dp[i-j][j]+dp[i-j][j-1]$

而 $i$ 最多就 $=1+2+3+...+j=\frac{(1+j)*j}{2}$
所以 $i>=\frac{j*j}{2}$
所以 $\sqrt{2i}>=j$

#include"iostream"
#include"math.h"
using namespace std;
const int MOD=1e9+7;
int dp[50005][320];
int main()
{
    for(int i=1;i<=50000;i++)dp[i][1]=1;
    for(int i=2;i<=50000;i++)
    {
        for(int j=1;j<=sqrt(i*2)&&j<i;j++)
        {
            dp[i][j]=(dp[i-j][j]+dp[i-j][j-1])%MOD;
        }
    }
    int N;
    while(cin>>N)
    {
        long long sum=0;
        for(int i=1;i<=sqrt(N*2);i++)
        {
            sum+=dp[N][i];
            sum%=MOD;
        }
        cout<<sum<<"\n";
    }
}