51Nod 1201-整数划分

最新推荐文章于 2021-05-04 13:09:49 发布

vocaloid01

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分类专栏： DP

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本文介绍了一种求解整数划分问题的动态规划算法，即如何将一个正整数拆分为若干个不同整数之和的方法数量。通过构建状态转移方程，解决了数据规模较大的情况下输出结果Mod10^9+7的问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

将N分为若干个不同整数的和，有多少种不同的划分方式，例如：n = 6，{6} {1,5} {2,4} {1,2,3}，共4种。由于数据较大，输出Mod 10^9 + 7的结果即可。

Input

输入1个数N(1 <= N <= 50000)。

Output

输出划分的数量Mod 10^9 + 7。

Sample Input

Sample Output

总结：

由题意知划分的数互不相等，所以满足这种要求的最大数也就是1+2+3+4+...+m<=n，而题目规定n<=50000，所以(1+m)*m/2<=50000，解得m<316。

最难的状态转移方程：dp[j][i] = dp[j-i][i] + dp[j-i][i-1]

具体解释:

1、dp[j-i][i]表示的是将j分为不包含1(min>=2)的方案总个数，例如，6(=9-3)分成3份可以分为{1,2,3}，则9可以分为{1+1,2+1,3+1}->{2,3,4}

2、dp[j-i,i-1]表示的是将j分为包含1(min=1)的方案总个数，例如，6=(=9-3)分成2(=3-1)可以分为{0,1,5}{0,2,4}，则9可以分为{0+1,1+1,5+1}{0+1,2+1,4+1}->{1,2,6}{1,3,5}

代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int MAXN = 50005;

long long dp[MAXN][320]; 
int N;
const int mod = 1e9+7;

void Build(){
	for(int i=1 ; i<320 ; i++){
		for(int j=1 ; j<=N ; j++){
			if(j>i)dp[j][i] = (dp[j-i][i] + dp[j-i][i-1])%mod;
		}
	}
}

int main(){
	
	cin>>N;
	dp[1][1] = 1;
	Build();
	long long sum = 0;
	for(int i=1 ; i<320 ; i++){
		sum += dp[N][i];
		sum %= mod;
	}
	cout<<sum<<endl;
	return 0;
}