[2018.10.17 T2] 最优路线

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最优路线

【题目描述】

一个$n$个点$m$条边的无重边无自环的无向图，点有点权，边有边权，定义一条路径的权值为路径经过的点权的最大值乘边权最大值。求任意两点间的权值最小的路径的权值。

【输入格式】

第一行两个整数$n,m$，分别表示无向图的点数和边数。
第二行$n$个正整数，第$i$个正整数表示点$i$的点权。
接下来$m$行每行三个正整数$u_i,v_i,w_i$，分别描述一条边的两个端点和边权。

【输出格式】

$n$行每行$n$个整数，第$i$行第$j$个整数表示从$i$到$j$的路径的最小权值，如果从$i$不能到达$j$，则该值为$-1$。特别地，当$i=j$时输出$0$。

【样例 1】

path. in

3 3
2 3 3
1 2 2
2 3 3
1 3 1

path.out

0 6 3
6 0 6
3 6 0

【样例 2】

见选手目录下 path. in/path.ans。

【数据范围与约定】

对于$20\%$的数据，$n<=5,m<=8$。
对于$50\%$的数据，$n<=50$。
对于$100\%$的数据，$n<=500,m<=n\ast (n-1)/2$，边权和点权不超过$10^9$。

题解

先考虑$50$分做法，$dp[i][j][k]$表示$i$到$j$，路径上最长边长度为$k$时最大点点权的最小值，类似$\mathcal{F}loyed$更新一下就可以做到$O(n^4)$。

事实上，我们不需要那么麻烦，$mx[i][j]$表示$i$到$j$路径上最长边的最小值，使用$\mathcal{F}loyed$来更新，但是枚举中继点$k$的时候我们要按点权从小到大枚举，这样$i$到$j$路径上点权最大的点就一定是$i,j,k$中的一个，于是便可以更新答案为$min(ans,mx[i][j]\times max(val[k],max(val[i],val[j]))$。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int M=505;
struct sd{int val,id;}pt[M];
bool operator<(sd a,sd b){return a.val<b.val;}
int val[M],mx[M][M],n,m;
ll ans[M][M];
void in()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	memset(mx,127,sizeof(mx));
	for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=n;++j)if(i!=j)ans[i][j]=LONG_LONG_MAX;
	for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&val[i]),pt[i]=(sd){val[i],i};
	for(int i=1,a,b,c;i<=m;++i)scanf("%d%d%d",&a,&b,&c),mx[a][b]=mx[b][a]=c,ans[a][b]=ans[b][a]=1ll*max(val[a],val[b])*mx[a][b];
}
void ac()
{
	sort(pt+1,pt+1+n);
	for(int k=1;k<=n;++k)for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=n;++j)
	if(mx[i][j]>max(mx[i][pt[k].id],mx[pt[k].id][j]))
	mx[i][j]=max(mx[i][pt[k].id],mx[pt[k].id][j]),ans[i][j]=min(ans[i][j],1ll*mx[i][j]*max(pt[k].val,max(val[i],val[j])));
	for(int i=1;i<=n;++i,putchar(10))for(int j=1;j<=n;++j)printf("%lld ",ans[i][j]==LONG_LONG_MAX?-1:ans[i][j]);
}
int main(){in(),ac();}