欧几里得算法&&扩展欧几里得算法(基础)_二进制扩展欧几里得算法-优快云博客

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本文介绍了基础的欧几里得算法及其扩展版本，详细讲解了扩展欧几里得算法如何求解特定的二元线性方程，并提供了具体的代码实现。

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最近数论讲的比较多，蒟蒻表示完全懵逼。。。
本来想写篇莫比乌斯反演的，~~但是懒得搞那么多公式~~，所以挑篇简单的欧几里得来写，不过类欧几里得算法也是很难的(凉凉。。)所以降低一点难度，写篇基础的。
正题：
注：#define long long LL

欧几里得算法：

很简单的东西，等于辗转相除法，非常简单，贴个代码：

LL gcd(LL a,LL b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}

扩展欧几里得算法：

是用来解下面的二元方程的：
$ax+by=gcd(a,b)ax+by=\mathrm{gcd(a,b)}$

首先我们需要知道两个式子：
$b+⌊ab⌋∗ba=a\;mod\;b+\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*b$
$b)\mathrm{gcd(a,b)}=\mathrm{gcd(b,a\;mod\;b)}$

~~上面两个式子显然是对的，就不给证明了。~~
代入原式可得：
$b)x*(a\;mod\;b+\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*b)+by=\mathrm{gcd(b,a\;mod\;b)}$

展开括号，提公因式b
$b)(a\;mod\;b)x+b(\lfloor\frac{a}{b}\rfloor x +y)=\mathrm{gcd(b,a\;mod\;b)}$

对照一下这个式子和原式：
$b)a\;\;\;\;\;\;x\qquad\;\;\;\;+\qquad b\;\;\;\;\;\; y\;=\mathrm{gcd(a,\;\;\;\;\;b)}$
$b)b(\lfloor\frac{a}{b}\rfloor x +y)+(a\;mod\;b)x=\mathrm{gcd(b,a\;mod\;b)}$

不难发现两个式子的形式是一样的，有如下替换关系：
$a$ 　 $→\rightarrow$ 　 $b$
$b$ 　 $→\rightarrow$ 　 $ba\;mod\;b$
$x$ 　 $→\rightarrow$ 　 $⌊ab⌋x+y\lfloor\frac{a}{b}\rfloor x +y$
$y$ 　 $→\rightarrow$ 　 $x$

于是我们就可以递归求解这个方程，设该函数为exgcd(a,b,x,y)，那么递归到下一层的参数就是exgcd(b,a%b,y,x)(因为x、y都为未知数，所以我们递归时只改变位置即可)。
递归到最底层时，我们式子的形式依然是这样的：
$ax+by=gcd(a,b)ax+by=\mathrm{gcd(a,b)}$

由于在递归时，显然a、b一直在做辗转相除，那么最终a会变成gcd，而b会变成0。所以，对于上面的式子x有唯一解x=1，y可以为任意值。一般情况下，题目会要求求最小正整数解，所以我们返回的值就是x=1，y=0。

返回过程中，我们要更改解的值，根据我们推出的两个变换式：
$ax+by=gcd(a,b)ax+by=\mathrm{gcd(a,b)}$
$b)b(\lfloor\frac{a}{b}\rfloor x +y)+(a\;mod\;b)x=\mathrm{gcd(b,a\;mod\;b)}$

可以得到：　 $y=y−⌊ab⌋xy=y-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor x$

而我们传参的时候已经改变了x、y的位置，所以返回的时候不用管。

代码如下：

LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    b?(exgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x):(x=1,y=0);
}