欧几里得算法--二进制欧几里得算法--拓展欧几里得算法

最新推荐文章于 2020-04-06 18:58:35 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/liugl7/p/4909584.html

本文介绍了欧几里得算法，包括传统的递归和迭代版本，重点讲述了二进制欧几里得算法的原理和优势，并提到了拓展欧几里得算法在计算最大公因子和模逆元中的应用。此外，还提及了在RSA加密和快速幂取模算法中的关联。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

首先说一下，欧几里得算法：求两个数的最大公约数

教材的写法是：

1 //输入要求a>=b>=0 
2 unsigned euclid(unsigned a,unsigned b){
3     if(b==0) return a;  
4     return euclid(b,a%b);
5 }

当然也可以改成非递归的迭代版本：

 1 int Gcd(int a, int b)
 2 {
 3     while(b != 0)
 4     {
 5     　　int r = b;
 6     　　b = a % b;
 7     　　a = r;
 8     }
 9     return a;
10 }

上个世纪60年代研究人员对这个古老的算法进行了改进，称为二进制欧几里得算法：

基于的原理是：

若 N 和 M 是偶数，gcd(N, M) = 2 gcd(N/2, M/2) ，
若 N 是偶数而 M 是奇数，那么 gcd(N, M) = gcd(N/2, M) ，
若 N 和 M 都是奇数，那么 (由于 N-M 是偶数) |N-M| < max(N,M) 。用 |N-M| 替换两者中的较大者

该算法称为 二进制 因为，与原来的不同，它不使用通常的除法而只使用除以2的。由于计算机数字总是用二进制系统表示，你不会对有一种特殊的机器指令以高效的方式实现除以 2而感到惊讶。这称为 右移位，其中最右一位被舍弃，其他的位向右移动一位，而最左一位被设为0。
另一个顺手拈来的操作是按位与 & 。对任意整数 N 来说，N & 1 是 1 或 0 。当且仅当 N 是奇数时它为 1 。按位与也在硬件中实现，例如，作为机器指令

递归版本：

 1 unsigned int gcd(unsigned int u, unsigned int v)
 2 {
 3     // simple cases (termination)
 4     if (u == v) return u;
 5     if (u == 0) return v;
 6     if (v == 0) return u;
 7 
 8     // look for factors of 2
 9     if (~u & 1) // u is even
10     {
11         if (v & 1)  return gcd(u >> 1, v);             // u is even,v is odd
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