欧几里得算法和扩展欧几里得算法

二元一次不定方程的一般形式为ax＋by＝c。其中 a，b，c 是整数，ab ≠ 0。此方程有整数解的充分必要条件是a、b的最大公约数整除c

欧几里得算法的证明：

a可以表示成a=kb+r（a，b，k，r皆为正整数；且a>b） 
则r=amodb 
假设d是a,b的一个公约数，为了方便，我们记d=(a,b) 
则d|a,d|b，即a和b都可以被d整除。 
而r=a−kb 
两边同时除以d得到 
r/d=a/d−kb/d 
因为d|a,d|b，显然可以得到d|r 
所以d是r的一个约数，因此d是（a,b,r）的公约数，即d=(a,b,r) 
设A是(a,b)的公约数集，B是(b,r)的公约数集，R是(a,r)的公约数集 
那么可以得到A⊆B,A⊆R

可见现在并不能得到(a,b)和(b,r)的公约数相同 
只能说(a,b)的公约数是(b,r)公约数的一部分，同时也是(a,r)公约数的一部分

假设d′是(b,r)的公约数，则d′|b,d′|r； a=kb+r，等式两边都除以d′,可得 
a/d′=(kb+r)/d′=kb/d′+r/d′ 因为d′|b,d′|r； 显然d′|a 
所以如果d′=(b,r),那么在a=kb+r的情况下，d′也是a的约数，d′=(a,b,r) 
因此(b,r)的约数集是(a,b)的约数集的一部分，也是(a,r)约数集的一部分 所以B⊆A，B⊆R综上，A=B 
由此得证，(a,b)的公约数与(b,r)的公约数相同，当然它们的最大公约数也必定相同。 即 
　　　　　　　　　　　　gcd(a,b)=gcd(b,r)

可见必须要满足两个条件才能得到(a,b)的公约数与(b,r)的公约数是相同的结论。 
条件一：

假设d=（a,b），那么在a=qb+r的情况下，有 d=（b,r） 
即证明A⊆B

条件二：

假设d=（b,r），那么在a=qb+r的情况下，有 d=（a,b） 
即证明B⊆A

扩展欧几里得算法的说明：

扩展欧几里德算法是用来求解a*x+b*y==gcd(a,b)这样的方程的。同样利用gcd(a,b)==gcd(b,a%b)把a*x+b*y==gcd( a, b )转化为b*x'+(a%b)*y'==gcd( b, a%b );

根据递归的思想，假设现在我们已经求出了x' y',剩下的关键就是如何用x' y'求出x y.我们观察gcd(b,a%b) = b*x'+(a%b)*y'，只要把右边重新写成 a*x+b*y 的形式就行了，所以需要对b*x'+（a%b）*y'进行变形，因为a%b == a-a/b*b,故b*x'+(a%b)y' = b*x'+(a-a/b*b)y' == a*y' + b*(x'-a/b*y') .

这样便可得出 x = y' y = x'-a/b*y'。

 这样我们就得到了方程的解 :

x==x0+b*t;　　　　//    特解+通解

y==y0+a*t;

然后再看一般形式 a*x+b*y==c;

当且仅当 c%gcd( a,b )==0时方程才有解。

a*x+b*y==c的求解可以先求出a*x+b*y=gcd(a,b),然后将x y扩大c/gcd(a,b)倍就可以了。