欧几里得及欧几里得扩展算法

最新推荐文章于 2024-06-24 14:36:09 发布

我是Oliver啊

最新推荐文章于 2024-06-24 14:36:09 发布

阅读量712

点赞数

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏：算法概论学习笔记文章标签：算法 C++ 扩展数论

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/lihaotong10/article/details/8672443

算法概论学习笔记专栏收录该内容

3 篇文章

订阅专栏

本文介绍了欧几里得算法及其扩展形式。扩展欧几里得算法在保持时间复杂度O(n^3)的同时，能求解出x和y的一组解。此外，还讨论了乘法逆元的概念，即如果ax ≡ 1 (mod N)，则x是a的模N乘法逆元，并指出只有当a与N互质时，逆元才存在，并且可以在O(n^3)时间内找到。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

(1)欧几里得算法

defination:if x and y are positive and x >= y,then gcd(x,y) = gcd(x mod y,y)。
又叫辗转相除法，用于求解最大公约数，时间复杂度为O（log n）(n 为二进制的长度)。
proof：:首先，我们应该知道：如果一个数可以除尽x,y，那么它一定能除尽x-y。那么我们可以得到gcd(x,y) = gcd (x-y,y).以此类推，
gcd(x-y,y) = gcd（x-2y,y） =...........=gcd（x mod y,y）。
又叫辗转相除法，用于求解最大公约数，时间复杂度为O（n^3）(n 为二进制的长度)。
递归：

#include <iostream>
using namespace std;
int Euclid(int x,int y)
{
  if(y == 0)
  return x;
  else
 return Euclid(y,x % y);
}
int main()
{ 
 int x,y;
 cin >> x >> y;
 if(x < y)
 swap(x,y);
 cout << Euclid(x,y) << endl;
 system("pause");
 return 0; 
}

Lemma 1. if a >= b ,then a mod b < a / 2
proof：（1）如果b >= a / 2,那么 a mod b 一定小于 a / 2
（2）如果 b < a / 2, 那么 a mod b <= b < a / 2

(2)扩展的欧几里得算法

defination: If d divides both a and b, and d = ax + by for some interger x and y, then necessarily d = gcd(a,b)。
proof：如果d是a,b的公约数则d <= gcd(a,b)。又因为d = ax + by,则gcd(a,b)必然整除d，即d >= gcd(a,b)。所以 d = gcd(a,b)。

主要应用：
(1) 解不定方程

//a >= b
gcd(a,b) = gcd (b,a mod b) = bx1 + (a mod b)y1 = bx1 + (a - (a/b) * b) * y1 = ay1 + b（x1 - a/b*y1）
所以 x = y1,y =（x1 - a/b*y1）
递归：
(1) if(b == 0),gcd(a,b) = a,x = 1, y = 0(y可任意取，不同的y对应不同的解)
(2) if(b != 0) x = y1,y =（x1 - a/b*y1）

int extended_euclidean(int a, int b, int &x, int &y) 
{
		
if (b == 0) 
{
			
x = 1; y = 0; return b;
		
}
		
int g = extended_euclidean(b, a % b, x, y);
		
int t = x - a / b * y;
		
x = y;
		
y = t;
		
return g;
	
}

此时也可得到一系列解：
x = x0 + b*k;
y = y0 - a*k

关于这个算法的时间复杂度，可以看出这个算法和欧几里得算法不同之处在于每次都求出了x,y的一组解，但是实质还是在做欧几里得算法。所以时间复杂度为O（n^3）

（2）求乘法逆原（multiplicative inverse）

defination：x is the multiplicative inverse of a modulo N if ax ≡ 1 （mod N）

Modular division theorem:For any a mod N, a has a multiolicative inverse modulo N if and only if it is relativetly prime to N .When this inverse exist , it can be found in time O(n^3)

int extended_euclidean(int a, int b, int &x, int &y) 
{
if (b == 0) 
{
			
x = 1; y = 0; return b;
		
}
		
int g = extended_euclidean(b, a % b, x, y);
		
int t = x - a / b * y;
		
x = y;
		
y = t;
		
return g;
	
}

其中x为a mod b 的逆元，y为 b mod a 的逆元