挑战性题目DSCT101：硬币找换问题

挑战性题目DSCT101：硬币找换问题

问题描述

有一堆数字，$1,2,4,8,\cdots ,2^n$，每个数字各两个。要求选取部分数字，相加凑出一个给定的数字$M$。

题解

假如每个数字只有$1$个，那么每个正整数$M$自然只有一种表示方式。当每种数字都有$2$个时，那么$2^i$可以被两个$2^{i-1}$的数字表示，所以可以通过组合多个面值小的数字来代替面值大的数字。而由于每种数字仅有$2$个，所以无论如何组合$1\sim 2^{i-1}$面值的数字，最多只能再凑出一个面值为$2^i$的数字。

所以我们使用动态规划中的数位dp算法，使用数组dp[i][j]来表示考虑到面值为$2^i$的数字，且已经用小面值的数字凑出了$j$个$2^i$面值的数字的方案数。在转移时，我们枚举选取$2^i$数字的个数$k$，当$(i+j)\%2$等于我们需要凑出的面值的第$i$个二进制位时，就表示我们完成了这一位的表示，并且可以向前进位了，于是dp[i+1][(j+k)/2]的方案数就加上dp[i][j]的方案数。

最后，总的方案数即保存在处理完所有二进制位，并且不进位的情况中，即ans=dp[log_2(M)+1][0]。

基于此，对于每种数字都有$k$个的情况，仍然可以照此处理，$j$的取值范围为$0\sim \lfloor k\frac{2^i-1}{2^i}\rfloor \approx k$，而枚举M的每一位需要${log}_{2}M$的时间，枚举每个数字选择的个数需要k的时间，所以总的时间复杂度为$O\left(k^2{log}_{2}M\right)$。

代码

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
int dp[33][3],n,i,j,k;
int main(int argc,char* argv[])
{
    n=atoi(argv[1]);
    dp[0][0]=1;
    for(i=0;(1ll<<i)<=n;++i)
    for(j=0;j<=1;++j)for(k=0;k<=2;++k)
    if((j+k&1)==(1&(n>>i)))dp[i+1][j+k>>1]+=dp[i][j];
    printf("%d\n",dp[i][0]);
}