挑战性题目DSCT101：硬币找换问题

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#动态规划 #算法 #c++

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本文介绍了一种利用动态规划解决硬币找换问题的方法。通过数位DP算法，考虑每种面额有两个的情况下，如何组合面额以凑出特定金额。最终给出了解决方案及时间复杂度。

挑战性题目DSCT101：硬币找换问题

问题描述

有一堆数字， $,2n1,2,4,8,\cdots,2^n$ ，每个数字各两个。要求选取部分数字，相加凑出一个给定的数字 $M$ 。

题解

假如每个数字只有 $1$ 个，那么每个正整数 $M$ 自然只有一种表示方式。当每种数字都有 $2$ 个时，那么 $2^i$ 可以被两个 $2^{i-1}$ 的数字表示，所以可以通过组合多个面值小的数字来代替面值大的数字。而由于每种数字仅有 $2$ 个，所以无论如何组合 $1∼2i−11\sim2^{i-1}$ 面值的数字，最多只能再凑出一个面值为 $2^i$ 的数字。

所以我们使用动态规划中的数位dp算法，使用数组dp[i][j]来表示考虑到面值为 $2^i$ 的数字，且已经用小面值的数字凑出了 $j$ 个 $2^i$ 面值的数字的方案数。在转移时，我们枚举选取 $2^i$ 数字的个数 $k$ ，当 $(i+j)%2(i+j)\%2$ 等于我们需要凑出的面值的第 $i$ 个二进制位时，就表示我们完成了这一位的表示，并且可以向前进位了，于是dp[i+1][(j+k)/2]的方案数就加上dp[i][j]的方案数。

最后，总的方案数即保存在处理完所有二进制位，并且不进位的情况中，即ans=dp[log_2(M)+1][0]。

基于此，对于每种数字都有 $k$ 个的情况，仍然可以照此处理， $j$ 的取值范围为 $0∼⌊k2i−12i⌋≈k0\sim\left\lfloor k\frac{2^i-1}{2^i}\right\rfloor\approx k$ ，而枚举M的每一位需要 ${log}_2{M}$ 的时间，枚举每个数字选择的个数需要k的时间，所以总的时间复杂度为 $O(k2log2M)O\left(k^2{log}_2{M}\right)$ 。

代码

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
int dp[33][3],n,i,j,k;
int main(int argc,char* argv[])
{
    n=atoi(argv[1]);
    dp[0][0]=1;
    for(i=0;(1ll<<i)<=n;++i)
    for(j=0;j<=1;++j)for(k=0;k<=2;++k)
    if((j+k&1)==(1&(n>>i)))dp[i+1][j+k>>1]+=dp[i][j];
    printf("%d\n",dp[i][0]);
}