挑战性题目DSCT301：求不同形态的二叉树数目

最新推荐文章于 2025-02-16 14:19:08 发布

原创最新推荐文章于 2025-02-16 14:19:08 发布 · 308 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#算法 #c++

数据结构专栏收录该内容

113 篇文章

订阅专栏

本文介绍了一种利用卡特兰数高效计算不同形态二叉树数量的方法。通过递推公式和预计算表的方式，可以在O(n)的时间复杂度内解决该问题。文中还讨论了处理大数值时的高精度计算技巧。

挑战性题目DSCT301：求不同形态的二叉树数目

问题描述

$n$ 个节点的不同形态的二叉树数目是确定的，称为Catalan数（卡特兰数）。任意输入一个正整数 $n$ ，请问有多少种不同的二叉树形状？例如，输入3，输出5。

数学描述：二叉树的先序遍历与中序遍历可以确定唯一的一棵二叉树。“不同形状的二叉树数目问题”与“n个元素依次入栈不同的出栈序列数目问题”是等价问题。

题解

整个问题可简化为求第 $n$ 个卡特兰数的值，我选择运用递推公式

Catalan[0]=Catalan[1]=1
Catalan[n]=Catalan[n-1]*(4*n-2)/(n+1)

如此，用一个for循环就可以在 $O (n)$ 的时间复杂度下求出第n个卡特兰数的值。

值得注意的是，由于本题没有对卡特兰数取模，所以卡特兰数增长速度很快，在36位左右就会溢出long long的取值范围。同时，即使最终的运算结果在long long范围内，在运算过程中的中间变量也有可能超过long long，造成溢出。

为了解决这个问题，对于n较大的卡特兰数，可以使用高精度算法，使用数组来表示一个数，数组的每一个元素对应卡特兰数的每一位。不过，这样的存储方式会浪费不少空间。事实上，对于一个int数组，可以装下一个9位整数，即一个数组元素可以表示卡特兰数的9位。不过，考虑到本题中使用的是乘法，为了防止做高精度乘法时溢出，可以用一个数组元素表示卡特兰数的4位，这样就兼顾了高精度计算的要求和节省空间的需要。

代码

因为这题不取模，所以可能的输入就30来个，我直接进行一个表的打。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
using namespace std;
long long catalan[]={
1,
1,
2,
5,
14,
42,
132,
429,
1430,
4862,
16796,
58786,
208012,
742900,
2674440,
9694845,
35357670,
129644790,
477638700,
1767263190,
6564120420,
24466267020,
91482563640,
343059613650,
1289904147324,
4861946401452,
18367353072152,
69533550916004,
263747951750360,
1002242216651368,
3814986502092304,
14544636039226909,
55534064877048198,
212336130412243110,
812944042149730764,
3116285494907301262};
void out(long long x){if(x>9)out(x/10);putchar(x%10+'0');}
int main(int argc,char* argv[])
{
	int n=atoi(argv[1]);
	out(catalan[n]);
}