挑战性题目DSCT103：客观指标评价问题

挑战性题目DSCT103：客观指标评价问题

问题描述

实验性能分析之时，不同的方法测试形成结果。考虑这样一种普适情形，两种方法各测试$4$个离散点，且这四个离散点的连线通常是单调的。如何判定哪一种方法更好，且描述出好多少（以百分数为单位，%）是客观评价的重要手段。请设计一种方法，比较两组$4$点数据。

8 64，16 256，24 576，32 1024
10 120，18 388，28 940，35 1470	

数学描述：对测试点进行高阶曲线拟合，找寻恰当的积分边界，进行积分差运算，再折算比例。

题解

基本思路是用曲线与坐标轴所围面积（即积分）来数值化衡量一条曲线的好坏。由于两条曲线的定义域并不相同，为了能更好地衡量他们的优劣，我选择他们都能作用的区间，即两条曲线定义域的交集。

现每条曲线已知4个点，信息较少，所以我选择多项式拟合，用四个点联立解出三次多项式的系数，以该三次多项式作为拟合曲线的表达式，基于该表达式，也能较为快速的计算出积分值。

联立计算系数可用高斯消元，复杂度为$O\left(n^3\right)$，而得到三次多项式表达式后计算积分复杂度为$O\left(n\right)$，所以整个算法的复杂度是$O\left(n^3\right)$。

实际实现代码时，要注意判断方程无解的情况。同时为了提高精确度，每次进行消元时，可以以对应未知数系数最大的一行作为基准对其他行消元。

代码

#pragma GCC optimize(2)
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define eps 1e-8
using namespace std;
double Gauss[5][5];
struct Func{
    double k[4];//y=k[0]x+k[1]x^2+k[2]x^3+k[3]
}func[2];
int n=4;
double calc(Func f,double x)
{
	return f.k[0]/2*x*x+f.k[1]/3*x*x*x+f.k[2]/4*x*x*x*x+f.k[3]*x;
}
double integrame(Func f,double h,double l)
{
	return calc(f,h)-calc(f,l);
}
Func solve()
{
	int pos;
	double ra;
	for(int i=0;i<n;++i)
	{
		pos=i;
		for(int j=i+1;j<n;++j)if(fabs(Gauss[pos][i])<fabs(Gauss[j][i]))pos=j;
		if(fabs(Gauss[pos][i])<eps)
		{
			printf("No Solution\n");
			exit(0);
		}
		if(pos!=i)for(int j=0;j<=n;++j)swap(Gauss[pos][j],Gauss[i][j]);
		for(int j=i+1;j<n;++j)
		{
			ra=Gauss[j][i]/Gauss[i][i];
			for(int k=i;k<=n;++k)
			Gauss[j][k]-=ra*Gauss[i][k];
		}
	}
	for(int i=n-1;i>=0;--i)
	{
		for(int j=i+1;j<n;++j)Gauss[i][n]-=Gauss[j][n]*Gauss[i][j];
		Gauss[i][n]/=Gauss[i][i];
	}
    Func ret;
	for(int i=0;i<n;++i)ret.k[i]=Gauss[i][n];
    return ret;
}
int main(int argc,char* argv[])
{
	double low,high;
	for(int i=0;i<n;++i)
    {
        Gauss[i][0]=atof(argv[i<<1|1]);
        for(int j=1;j<3;++j)Gauss[i][j]=Gauss[i][j-1]*Gauss[i][0];
        Gauss[i][3]=1;Gauss[i][4]=atof(argv[i+1<<1]);
    }
	low=Gauss[0][0];
	high=Gauss[n-1][0];
    func[0]=solve();
    for(int i=0;i<n;++i)
    {
        Gauss[i][0]=atof(argv[i*2+9]);
        for(int j=1;j<3;++j)Gauss[i][j]=Gauss[i][j-1]*Gauss[i][0];
        Gauss[i][3]=1;Gauss[i][4]=atof(argv[i*2+10]);
    }
	low=max(Gauss[0][0],low);
	high=min(Gauss[n-1][0],high);
    func[1]=solve();
	double s0,s1;
	s0=integrame(func[0],high,low);
	s1=integrame(func[1],high,low);
	if(s0>s1)swap(s0,s1);
	printf("%.2lf%%",(s1-s0)/s0*100);
	return 0;
}