傅里叶级数（二）|一般周期函数的傅里叶函数、傅里叶函数的复数形式

一、周期为2l的周期函数的傅里叶级数

实际问题中所遇到的周期函数，它的周期不一定是$2\pi$。如之前提到的矩形波，它的周期函数是$T=\frac{2\pi }{\omega }$。因此，这里讨论周期为$2l$的周期函数的傅里叶级数。根据之前讨论的结果，经过自变量的变量代换，可得到下面的定理：

定理：设周期为2l的周期函数$f(x)$满足收敛定理的条件，则它的傅里叶级数展开式为
$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}cos\frac{n\pi x}{l}+b_{n}sin\frac{n\pi x}{l})(x\in C)$$
其中
a n = 1 l ∫ − l l f ( x ) c o s n π x l d x ( n = 0 , 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ) b n = 1 l ∫ − l l f ( x ) s i n n π x l d x ( n = 1 , 2 , 3 , ⋅ ⋅ ⋅ ) C = { x ∣ f ( x ) = 1 2 [ f ( x − ) + f ( x + ) ] } a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^lf(x)cos\frac{n\pi x}{l}dx\quad (n=0,1,2,···) \\ b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^l f(x)sin\frac{n\pi x}{l}dx\quad (n=1,2,3,···)\\ C=\{x|f(x)=\frac{1}{2}[f(x^-)+f(x^+)]\} an​=l1​∫−ll​f(x)coslnπx​dx(n=0,1,2,⋅⋅⋅)bn​=l1​∫−ll​f(x)sinlnπx​dx(n=1,2,3,⋅⋅⋅)C={x∣f(x)=21​[f(x−)+f(x+)]}
当$f(x)$为奇函数时，
$$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{b}_{n}sin\frac{n\pi x}{l}(x\in C)$$
其中
$$b_n=\frac{2}{l}{\int }_0^{l}f(x)sin\frac{n\pi x}{l}dx(n=1,2,3,\cdot \cdot \cdot )$$
当$f(x)$为偶函数时，
$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}cos\frac{n\pi x}{l}(x\in C)$$
其中
$$a_n=\frac{2}{l}{\int }_0^{l}f(x)cos\frac{n\pi x}{l}dx(n=0,1,2,\cdot \cdot \cdot )$$

二、傅里叶级数的复数形式

傅里叶级数可用复数形式表示，在电子技术中，经常应用这种形式。

设周期为$2l$的周期函数$f(x)$的傅里叶级数为
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}cos\frac{n\pi x}{l}+b_{n}sin\frac{n\pi x}{l})\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中系数$a_n$与$b_n$为
$$\begin{gathered} a_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)cos\frac{n\pi x}{l}dx(n=0,1,2,\cdot \cdot \cdot ) \\ {b}_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)sin\frac{n\pi x}{l}dx(n=1,2,3,\cdot \cdot \cdot )\text{\hspace{1em}(2)} \end{gathered}$$
利用欧拉公式
$$cost=\frac{e^{ti}+e^{-ti}}{2},sint=\frac{e^{ti}-e^{-ti}}{2i}$$
把（1）式化为
$$\begin{gathered} \frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }[\frac{a_n}{2}(e^{\frac{n\pi x}{l}i}+e^{-\frac{n\pi x}{l}i})-\frac{b_{n}i}{2}(e^{\frac{n\pi x}{l}i}-e^{-\frac{n\pi x}{l}i})] \\ =\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }[\frac{a_n-b_{n}i}{2}{e}^{\frac{n\pi x}{l}i}+\frac{a_n+b_{n}i}{2}{e}^{-\frac{n\pi x}{l}i}]\text{\hspace{1em}(3)} \end{gathered}$$
记
$$\frac{a_0}{2}=c_0,\frac{a_n-b_{n}i}{2}=c_n,\frac{a_n+b_{n}i}{2}=c_{-n}(n=1,2,3,\cdot \cdot \cdot )\text{\hspace{1em}(4)}$$
则（2）式就表示为
$$c_0+\sum _{n=1}^{\infty }(c_n{e}^{\frac{n\pi x}{l}i}+c_{-n}{e}^{-\frac{n\pi x}{l}i})=(c_n{e}^{\frac{n\pi x}{l}i}{)}_{n=0}+\sum _{n=1}^{\infty }(c_n{e}^{\frac{n\pi x}{l}i}+c_{-n}{e}^{-\frac{n\pi x}{l}i})$$
即得傅里叶级数的复数形式为
$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }{c}_n{e}^{\frac{n\pi x}{l}i}$$
为得出系数$c_n$的表达式，把（2）式代入（4），得
$$\begin{gathered} c_0=\frac{a_0}{2}=\frac{1}{2l}{\int }_{-l}^{l}f(x)dx; \\ {c}_n=\frac{1}{2l}{\int }_{-l}^{l}f(x)e^{-\frac{n\pi x}{l}dx}(n=1,2,3,\cdot \cdot \cdot ) \\ {c}_{-n}=\frac{a_n+b_{n}i}{2}=\frac{1}{2l}{\int }_{-l}^{l}f(x)e^{\frac{n\pi x}{l}i}dx(n=0,1,2,\cdot \cdot \cdot ) \end{gathered}$$
将已得的结果合并写为
$$c_n=\frac{1}{2l}{\int }_{-l}^{l}f(x)e^{-\frac{n\pi x}{l}i}dx(n=0,\pm 1,\pm 2,\cdot \cdot \cdot )$$
这就是傅里叶系数的复数形式。

傅里叶级数的两种形式本质上是一样的，但复数形式比较简洁，且只用一个算式计算系数。