傅里叶级数与傅里叶变换

傅里叶级数与傅里叶变换

一、傅里叶级数（Fourier Series）

1. 傅里叶级数的基本概念

傅里叶级数是将周期函数表示为正弦和余弦函数的无穷级数。其核心思想是，任何周期函数都可以通过适当的加权正弦和余弦波的叠加来表示。

对于一个周期为 $T$ 的周期函数 $f(t)$，傅里叶级数的表达式为：
$$f(t)=a_0+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos (n{\omega }_{0}t)+b_n\sin (n{\omega }_{0}t)\right)$$
其中，${\omega }_0=\frac{2\pi }{T}$ 是基频，$a_0$ 是常数项，$a_n$ 和 $b_n$ 是傅里叶级数的系数。

2. 傅里叶级数系数的计算

傅里叶系数 $a_0,a_n,b_n$ 的计算公式分别为：
$$a_0=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)dt$$
$$a_n=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)\cos (n{\omega }_{0}t)dt$$
$$b_n=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)\sin (n{\omega }_{0}t)dt$$

3. 实例分析：用傅里叶级数表示周期函数

案例：
考虑一个简单的周期方波函数：
$$f(t)=\{\begin{array}{ll}1,& 0\le t<T/2\\ -1,& T/2\le t<T\end{array}$$
这个函数的周期是 $T$。我们可以利用傅里叶级数来表示这个方波函数。首先，计算傅里叶系数 $a_0,a_n,b_n$。

傅里叶系数计算过程：

• $a_0$：
  $$a_0=\frac{2}{T}{\int }_0^{T/2}1dt+\frac{2}{T}{\int }_{T/2}^T(-1)dt=\frac{2}{T}\times \frac{T}{2}+\frac{2}{T}\times \frac{T}{2}=0$$

• $a_n$（对于偶函数来说，$a_n=0$）：
  $$a_n=\frac{2}{T}{\int }_0^{T/2}1\cos (n{\omega }_{0}t)dt+\frac{2}{T}{\int }_{T/2}^T(-1)\cos (n{\omega }_{0}t)dt$$

• $b_n$（由于函数是奇函数，$b_n$ 不为零）：
  $$b_n=\frac{2}{T}{\int }_0^{T/2}1\sin (n{\omega }_{0}t)dt+\frac{2}{T}{\int }_{T/2}^T(-1)\sin (n{\omega }_{0}t)dt$$

你可以通过直接计算这些积分（或使用计算软件）来求出傅里叶系数。

结果：
得到的 $b_n$ 结果是：
$$b_n=\frac{4}{n\pi }\text{（当 n 为奇数时，bn=0 对偶数）}$$

二、傅里叶变换（Fourier Transform）

1. 傅里叶变换的基本概念

傅里叶变换是将一个非周期函数从时间域转换到频率域的工具。它将时间域中的函数 $f(t)$ 转换为频域中的函数 $F(\omega )$。
傅里叶变换的定义式为：
$$F(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt$$

2. 傅里叶逆变换

傅里叶逆变换可以将频域信号转换回时间域，公式为：
$$f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{i\omega t}d\omega$$

3. 实例分析：傅里叶变换在实际物理问题中的应用

假设我们有一个简单的脉冲信号 $f(t)$，定义为：
$$f(t)=\{\begin{array}{ll}1,& |t|\le \frac{1}{2}\\ 0,& |t|>\frac{1}{2}\end{array}$$

我们将计算该脉冲信号的傅里叶变换。

傅里叶变换计算过程：
$$F(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt={\int }_{-1/2}^{1/2}{e}^{-i\omega t}dt$$
计算该积分，可以得到：
$$F(\omega )=\frac{\sin (\omega /2)}{\omega /2}$$

三、课堂活动：傅里叶级数与傅里叶变换的实际应用

1. 傅里叶级数实际应用

案例：
对于信号处理中的周期信号，我们可以分析其频谱成分。假设我们有一个周期信号，其图形类似于一个方波。通过傅里叶级数，可以计算出该信号的频率分量。

活动过程：
使用之前的周期方波函数，要求学生计算前几项傅里叶级数，并画出其频谱（即每一项频率成分的幅度）。

2. 傅里叶变换的实际应用

案例：
分析一个窗口函数（例如矩形窗）的频谱。窗口函数是信号处理中的重要工具，了解其频谱有助于理解信号的频率特性。

四、Python代码实现示例

傅里叶级数的Python实现：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义周期方波函数
def square_wave(t, T):
    return np.where(np.mod(t, T) < T/2, 1, -1)

# 定义傅里叶级数
def fourier_series(t, T, N):
    a_0 = 0
    result = a_0
    for n in range(1, N+1):
        b_n = 4 / (n * np.pi) * (1 - (-1)**n)
        result += b_n * np.sin(2 * np.pi * n * t / T)
    return result

# 时间轴
T = 2
t = np.linspace(0, 2*T, 1000)

# 计算方波和其傅里叶级数
square_wave_signal = square_wave(t, T)
fourier_signal = fourier_series(t, T, N=10)

# 绘制图形
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(t, square_wave_signal, label="Original Square Wave")
plt.title("Original Square Wave")
plt.grid(True)

plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(t, fourier_signal, label="Fourier Series Approximation", color='r')
plt.title("Fourier Series Approximation (N=10)")
plt.grid(True)

plt.tight_layout()
plt.show()

傅里叶变换的Python实现：

from scipy.fft import fft, fftfreq

# 定义脉冲信号
def pulse_signal(t):
    return np.where(np.abs(t) <= 0.5, 1, 0)

# 时间轴
t = np.linspace(-1, 1, 1000)
signal = pulse_signal(t)

# 计算傅里叶变换
N = len(t)
T = t[1] - t[0]
frequencies = fftfreq(N, T)
fourier_transform = fft(signal)

# 绘制图形
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(t, signal, label="Pulse Signal")
plt.title("Pulse Signal in Time Domain")
plt.grid(True)

plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(frequencies, np.abs(fourier_transform), label="Fourier Transform", color='r')
plt.title("Fourier Transform (Frequency Domain)")
plt.grid(True)

plt.tight_layout()
plt.show()

总结

这节课将通过傅里叶级数和傅里叶变换的基本概念、公式推导、实际应用和Python实现来帮助学生理解周期函数和非周期函数的频域表示。在课堂活动中，将能亲自计算傅里叶系数、绘制信号频谱，并用Python实现傅里叶分析工具。