离散信号（四）| 周期信号 |离散傅里叶级数（DFS）推导 + 主要性质（周期卷积定理、帕斯瓦尔定理）

离散傅里叶变换（DFT）要解决两个问题：一是信号离散化后它的频谱情况；二是快速运算算法。第一个问题将涉及周期离散信号的傅里叶级数（DFS），以及由DFS得到非周期信号的离散时间傅里叶变换（DTFT）和有限长序列的离散频谱表示；第二个问题将涉及DFT的快速算法——快速傅里叶变换（FFT）。

周期信号的频域分析

与周期模拟信号一样，周期离散信号同样可以展成傅里叶级数形式，并由此得出一新的变换对——离散傅里叶级数（Discrete Fourier Series），简记为DFS。

（一）离散傅里叶级数（DFS）的引入

可以从连续周期信号傅里叶级数的复指数形式导出周期序列的DFS。连续周期信号傅里叶级数的复指数形式为
$$x(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }X(k{w}_0)e^{jk{w}_{0}t}\text{\hspace{1em}(1)}$$

$$X(k{w}_0)=\frac{1}{T_0}{\int }_0^{T_0}x(t)e^{-jk{w}_{0}t}dtk=0,1,2,\cdots \text{\hspace{1em}(2)}$$

对连续周期信号$x(t)$的一个周期$T_0$进行N点采样，即$T_0=NT,w_0=\frac{2\pi }{T_0}=\frac{2\pi }{NT}$，T为采样周期，这样采样得到的离散序列$x(n)$是以N为周期的周期序列，即
$$x(n)=x(n+mN)(m为任意整数)$$
设${\Omega }_0=w_{0}T=\frac{2\pi }{N}$为离散域的基本频率，单位为弧度，$k{\Omega }_0$是k次谐波的数字频率。这样，在式（2）中，$t=nT,dt=T$，在一个周期内的积分变为在一个周期内的累加，即
$$X(k\frac{{\Omega }_{}}{T}$$