用途：中英文学习笔记，如有侵权，可评论留言，及时清理；学历：NUS计算机硕士；SYSU地球物理学士

δ\deltaδ函数和广义函数δ\deltaδ函数起源于集中分布物理量的数学描述。描述一个在空间连续分布的物理量QQQ，通常由两种方式。一种是局部性的，给出密度函数（分布）ρ(M)=dQdM,M∈Rn(n=1,2,3);\rho(M)=\frac{dQ}{dM},M\in \bold R^n(n=1,2,3);ρ(M)=dMdQ​,M∈Rn(n=1,2,3);另一种是整体性的，通过空间任意区域Ω⊂Rn\Omega\subset \bold R^nΩ⊂Rn该物理量的总量Q(Ω)=∫Ωρ(M)dMQ(\

在球坐标曲面所围区域上讨论问题时，自然应采用求坐标(r,θ,φ)(r,\theta,\varphi)(r,θ,φ)，此时LaplaceLaplaceLaplace算子Δ3=1r2∂∂r(r2∂∂r)+1r2sinθ∂∂θ(sinθ∂∂θ)+1r2sin2θ∂2∂φ2\Delta_3=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2\frac{\partial}{\partial r})+\frac{1}{r^2sin\theta}\frac{\partial}{\

在圆柱坐标曲面所围的区域上求解时，应采用柱坐标系(r,θ,z)(r,\theta,z)(r,θ,z)，此时Δ3=1r∂∂r(r∂∂r)+1r2∂2∂θ2+∂2∂z2\Delta_3=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r\frac{\partial}{\partial r})+\frac{1}{r^2}\frac{\partial ^2}{\partial \theta^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}Δ3​=r1​∂r∂​

将分离变量法推广到高维情况。在正交曲线坐标系下对数学物理方程分离变量，会出现某些变系数线性常微分方程，这些方程的解在数学物理中有广泛应用，是一些特殊函数。1. 正交曲线坐标系下的变量分离在求高维空间中发展方程的变量分离形状解时，通常先把时间变量分离出去，得到仅含空间变量的偏微分方程。如对于三维波动方程utt=a2Δ3uu_{tt}=a^2\Delta_3uutt​=a2Δ3​u或热传导方程ut=a2Δ3uu_t=a^2\Delta_3uut​=a2Δ3​u，均可令u=T(t)v(x,y,z)u=T(t)

一般的非齐次混合问题现在考虑一般的非齐次混合问题{Ltu+Lxu=f(t,x),t>0,a<x<b(α1u−β1∂u∂x)∣x=a=g1(t),(a2u+β2∂u∂x)∣x=b=g2(t)u∣t=0=φ(x),∂u∂t∣t=0=ψ(x)\begin{cases}L_tu+L_xu=f(t,x), \quad t>0,a<x<b \\(\alpha_1u-\beta_1\frac{\partial u}{\partial x})|_{x=a}=g_1(t),\qu

如果泛定方程或边界条件出现非齐次项，则不能直接用分离变量法。2.3.1 齐次边界条件下非齐次发展方程的混合问题例1：两端固定弦的强迫振动{∂2u∂t2−a2∂2u∂x2=f(t,x),t>0,0<x<l(1a)u∣x=0=u∣x=l=0(1b)u∣t=0=φ(x),∂u∂t∣t=0=ψ(x)(1c)\begin{cases}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=f(t,x),\q

求满足双调和方程定解问题{Δ2φ=(∂2∂x2+∂2∂y2)2φ=0,0<x<l(17a)∂2φ∂y2∣x=0=∂2φ∂y2∣x=l=0(17b)∂2φ∂y2≠0(17c)\begin{cases}\Delta^2\varphi=(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2})^2\varphi=0,\quad 0<x<l \quad (17a)\\\frac{\partial^2 \varp

求解扇型域上的Dirichlet问题{Δ2u=0,1<r<e,0<θ<π2u∣r=1=u∣r=e=0u∣θ=0=0,u∣θ=π2=g(r)(15)\begin{cases}\Delta_2u=0, \quad 1<r<e,0<\theta<\frac{\pi}{2} \\u|_{r=1}=u|_{r=e}=0 \\u|_{\theta=0}=0, \quad u|_{\theta=\frac{\pi}{2}}=g(r)\end{cases} \ta

截面为矩形的无穷长棱柱，内部无热源。两相对侧面与外界绝热，另两相对侧面温度分别保持为0o0^o0o和与高度无关的稳恒分布，求此棱柱的温度分布。解：可以看成二维问题。设矩形为0≤x≤a,0≤y≤b0\leq x\leq a,0\leq y\leq b0≤x≤a,0≤y≤b，温度分布为u(x,y)u(x,y)u(x,y)则有边值问题{∂2u∂x2+∂2u∂y2=0,0<x<a,0<y<bu∣x=0=0,u∣x=a=f(y)∂u∂y∣y=0=0,∂u∂y∣y=b=0(13)\begi

长为l的导热细杆，杆身侧面绝热，内部无热源。杆的一段绝热，杆的另一端与外界温度保持零度的介质自由热交换，杆的初始温度已知，求此有界杆上的温度分布。解：设杆上各点的温度为u(t,x)u(t,x)u(t,x)，则u满足定解问题{∂u∂t=a2∂2u∂x2,t>0,0<x<l∂u∂x∣x=0=0,(∂u∂x+γu)∣x=1=0u∣t=0=φ(x)(12)\begin{cases}\frac{\partial u}{\partial t}=a^2\frac{\partial^2u}{\pa

固有值问题的Sturm-Liouville定理函数的广义Fourie展开在线性代数中，n维实线性空间V中定义了内积⟨x,y⟩=∑j=1nxjyj,x=(x1,x2,⋅⋅⋅,xn),y=(y1,y2,⋅⋅⋅,yn)\langle \bold x,\bold y\rangle=\sum_{j=1}^n x_jy_j,\quad \bold x=(x_1,x_2,···,x_n), \quad \bold y=(y_1,y_2,···,y_n)⟨x,y⟩=j=1∑n​xj​yj​,x=(x1​,x2​,

能否将分离变量法应用于其他有限区间上的混合问题或边值问题，关键是固有值问题。一般格式将分离变量法用于更一般的定解问题{Ltu+Lxu=0,t∈I,a<x<b（1）(a1u−β1∂u∂x)∣x=a=0,(a2u+β2∂u∂x)∣x=b=0(2)关于t的定解条件(3)\begin{cases}L_tu+L_xu=0,\quad t\in I,a<x<b \quad \quad（1）\\(a_1u-\beta_1\frac{\partial u}{\partial x})|_{

今有无限长圆柱体(x2+y2<a2,−∞<z<+∞)(x^2+y^2<a^2,-\infty<z<+\infty)(x2+y2<a2,−∞<z<+∞)， 内部无热源，边界柱面温度保持为F(x,y)F(x,y)F(x,y)，求柱内稳态温度分布。注意到圆柱的对称性及柱面温度分布与z无关，可设柱内温度为u(x,y)u(x,y)u(x,y)与z无关。u满足二维Laplace方程圆内第一边值问题，也称Dirichlet问题{∂2u∂x2+∂2u∂y2=0,x2

变系数的线性微分方程，一般来说都是不容易求解的。但是有些特殊的变系数线性微分方程，则可以通过变量代换化为常系数微分方程，因而容易求解，欧拉方程就是其中一类。形如xny(n)+p1xn−1y(n−1)+⋅⋅⋅+pn−1xy′+pny=f(x)(1)x^ny^{(n)}+p_1x^{n-1}y^{(n-1)}+···+p_{n-1}xy'+p_ny=f(x) \tag{1}xny(n)+p1​xn−1y(n−1)+⋅⋅⋅+pn−1​xy′+pn​y=f(x)(1)的方程（其中p1,p2,⋅⋅⋅,pnp

先讨论二阶常系数齐次线性微分方程的解法，再把二阶方程的解法推广到n阶方程。在二阶齐次线性微分方程y′′+P(x)y′+Q(x)y=0(1)y''+P(x)y'+Q(x)y=0 \tag{1}y′′+P(x)y′+Q(x)y=0(1)中，如果y′,yy',yy′,y的系数P(x)P(x)P(x)，Q(x)Q(x)Q(x)均为常数，即（1）式成为y′′+py′+qy=0(2)y''+py'+qy=0 \tag{2}y′′+py′+qy=0(2)其中p，q是常数，那么称（2）为二阶常系数齐次线性

二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是y′′+py′+qy=f(x)(1)y''+py'+qy=f(x) \tag{1}y′′+py′+qy=f(x)(1)其中p，q是常数。一般而言，二阶常系数非齐次线性微分方程的通解，归结为求对应的齐次方程。y′′+py′+qy=0(2)y''+py'+qy=0 \tag{2}y′′+py′+qy=0(2)的通解和非齐次方程（1）本身的一个特解。由于二阶常系数齐次线性微分方程的通解的求法之前已得到解决，所以这里只需讨论求二阶常系数非齐次线性微分方程的一

一、线性微分方程的解的结构1.1 二阶齐次线性方程y′′+P(x)y′+Q(x)y=0(1)y''+P(x)y'+Q(x)y=0 \tag{1}y′′+P(x)y′+Q(x)y=0(1)定理1：如果函数y1(x)y_1(x)y1​(x)与y2(x)y_2(x)y2​(x)是方程（1）的两个解，那么y=C1y1(x)+C2y2(x)(2)y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x) \tag{2}y=C1​y1​(x)+C2​y2​(x)(2)也是方程（1）的解，其中C1,C2C_1,C_2C

可降阶的高阶微分方程1.y(n)=f(x)y^{(n)}=f(x)y(n)=f(x)型的微分方程微分方程y(n)=f(x)(1)y^{(n)}=f(x) \tag{1}y(n)=f(x)(1)的右端仅含有自变量x。容易看出，只要把y(n−1)y^{(n-1)}y(n−1)作为新的未知函数，那么（1）式就是新未知函数的一阶微分方程。两边积分，就得到一个n−1n-1n−1阶的微分方程y(n−1)=∫f(x)dx+C1y^{(n-1)}=\int f(x)dx+C_1y(n−1)=∫f(x)dx

分离变量法是一种可用来求某些典型区域上定解问题精确解的经典方法，本章将通过典型例子，介绍分离变量法的基本思想和具体步骤，并提出方法的理论核心——固有值问题，进而从Fourier展开角度来认识和应用分离变量法。两端固定弦的自由振动作为乐器上弦的发声模型，讨论两端固定的弦在初始扰动影响下产生的运动。选弦在张力作用下的平衡位置为x轴，线上各质点的横向位移u(t,x)u(t,x)u(t,x)满足弦振动方程的混合问题{∂2u∂t2=a2∂2u∂x2,t>0,0<x<l,(1a)u∣x=0=u∣

叠加原理和齐次化原理从通解求特解的方法对多数偏微分方程定解问题不适用。求解线性偏微分方程定解问题较多采用以下做法：先求方程的一族特殊解，再将这族特殊解作适当线性叠加求得定解问题的特解。接下将介绍这种做法的理论根据——线性叠加原理，以及由叠加原理导出的处理非齐次方程初值问题的齐次化原理。1. 线性叠加原理n个自变量的二阶线性偏微分方程∑i,j=1naij∂2u∂xi∂xj+∑j=1nbj∂u...

一般地，n个自变量的二阶线性偏微分方程可表示为∑i,j=1naij(x1,⋅⋅⋅,xn)∂2u∂xi∂xj+∑j=1nbj(x1,⋅⋅⋅,xn)∂u∂xj+c(x1,⋅⋅⋅,xn)u=f(x1,⋅⋅⋅,xn)(1)\sum_{i,j=1}^na_{ij}(x_1,···,x_n)\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\partial x_j}+\sum_{j=1}^n...

半直线上的弦振动问题，有时可以先将初始条件延拓至整根直线，再用达朗贝尔公式求解。例1：一段固定半无界弦的自由振动{∂2u∂t2=a2∂2u∂x2t>0,x>0u(t,0)=0u(0,x)=φ(x),ut(0,x)=ψ(x)(1)\begin{cases}\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2u}{\partial...

某些二阶线性偏微分方程，可分解为两个一阶线性偏微分方程，有可能积分求出通解。例如，二阶方程∂2u∂x∂y+∂u∂x=0\frac{\partial^2u}{\partial x\partial y}+\frac{\partial u}{\partial x}=0 ∂x∂y∂2u​+∂x∂u​=0等价于两个一阶线性偏微分方程∂v∂x=0和∂u∂y+u=v\frac{\partial v}...

n个自变量的一阶线性偏微分方程（n≥2n\geq2n≥2）n个自变量的一阶线性偏微分方程的一般形式为∑j=1nbj∂u∂xj+cu=f(7)\sum_{j=1}^nb_j\frac{\partial u}{\partial x_j}+cu=f \tag{7}j=1∑n​bj​∂xj​∂u​+cu=f(7)其中，bj=bj(x1,x2,...,xn),j=1,2,...,n,c=c(x1,...

先求通解再确定特解，是求常微分方程定解问题采用的方法，都某些偏微分方程，也能通过积分求出通解，进而确定出满足定解条件的特解。两个自变量的一阶线性偏微分方程今有两个自变量的一阶线性偏微分方程。a(x,y)∂u∂x+b(x,y)∂u∂y+c(x,y)u=f(x,y)(1)a(x,y)\frac{\partial u}{\partial x}+b(x,y)\frac{\partial u}{\p...

定解条件背景：在建立方程的过程中，仅考虑了系统内部各部分间的相互作用，以及外界对系统内部的作用。而一个确定的物理过程还要受到历史情况的影响和周围环境通过边界对运动的制约。泛定方程：反映系统内部作用导出的偏微分方程定解条件：确定运动的制约条件。初始条件（历史情况的影响）边界条件（周围环境对边界的影响）第I类边界条件（给顶端点值）：u∣x=xi=μi(t)u|_{x=x_i}=\m...

背景：反映某物理过程的微分方程并不能完全确定一个物理过程。1. 通解和特解如果多元函数u(x1,x2,...,xn)u(x_1,x_2,...,x_n)u(x1​,x2​,...,xn​)在空间区域V⊂RnV\subset \bold R^nV⊂Rn内具有方程中出现的各阶连续偏导数，并使方程F(x1,...,xn,u,∂u∂x1,...,∂u∂xn,...,∂mu∂x1m1∂x2m2...∂...

静电场物理问题：真空中有电荷分布，密度为ρ(x,y,z)\rho(x,y,z)ρ(x,y,z)，引起的稳恒电场为E(x,y,z)E(x,y,z)E(x,y,z)物理定律：静电场的高斯定律、法拉第定律数学建模：在空间任取区域V，其边界面记为∂V\partial V∂V.由静电场的高斯定律：通过任意封闭曲面的电通量等于该曲面包围体积内的电荷总量除以介电常数ϵ0\epsilon_0ϵ0​，有∫...

热传导问题物理问题：空间某个物体或静止流体内温度分布不均匀，引起热量流动及温度的变化。理想化假设：物体由同一介质构成，且介质均匀分布、各向同性介质的密度、比热和热传导系数均为常数。物理定律：能量守恒定律傅里叶热传导定律数学建模(1)：在空间取定直角坐标系取各点在t时刻的温度u=u(t,x,y,z)u=u(t,x,y,z)u=u(t,x,y,z)为热运动的表征量...

弦的横振动物理问题：一根弦在内部张力作用下处于平衡位置，某个微小扰动引起部分质点的位移，内部张力又使邻近的部分随之产生位移，形成波的运动。分析步骤：求解弦的运动，首先要去“去粗存精”，对弦及其运动作“理想化”假设，即建立物理模型。理想化假设：弦均匀细长，从而其横截面可忽略而视作线，线密度为常数。弦柔软弹性，可任意弯曲，张力满足胡可定律。弦的运动在同一平面内进行，每个质点的位移都是横向...

偏微分方程：指含有多元未知函数u=u(x),x=(x1,x2,...,Xn)u=u(x),x=(x_1,x_2,...,X_n)u=u(x),x=(x1​,x2​,...,Xn​)及其若干阶偏导数的关系式F(x,u,∂u∂x1,∂u∂x2,...,∂u∂xn,...,∂mu∂x1m1∂x2m2...∂xnmn)=0F(\bold x,u,\frac{\partial u}{\partial x...

1.全微分方程若存在函数u(x,y)u(x,y)u(x,y)使得du(x,y)=f(x,y)dx+g(x,y)dydu(x,y)=f(x,y)dx+g(x,y)dydu(x,y)=f(x,y)dx+g(x,y)dy则称方程f(x,y)dx+g(x,y)dy=0f(x,y)dx+g(x,y)dy=0f(x,y)dx+g(x,y)dy=0为全微分方程。显然，它的解可以表示为u(x,...

一、一阶常微分方程解的的存在与唯一性定理导数已解出的一阶常微分方程可以表示为如下的一般形式：{dydx=f(x,y)y(x0)=y0(1)\begin{cases}\frac{dy}{dx}=f(x,y) \\y(x_0)=y_0 \tag{1}\end{cases}{dxdy​=f(x,y)y(x0​)=y0​​(1)对于这类定解问题，有以下解的存在与唯一性定理。**解的存在...