周期信号的傅里叶级数表示

最新推荐文章于 2025-05-19 01:19:41 发布

shawn_shao

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分类专栏：信号处理

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基本概念

复指数集包括连续时间的est 和离散时间信号的zN信号,其中s和都是复数.一般来说,s和可以是任意复数,但傅里叶分析仅限于这些变量的特殊形式.
- 在连续时间情况下仅涉及 $s$ 的纯虚部值,即 $s=jw$ ,因此仅考虑 $e^{jwt}$ 形式的复指数.
- 在离散时间情况下仅限于单位振幅的 $z$ 值,即 $z=e^{jw}$ ,因此仅考虑 $e^{jwn}$ 形式的复指数.

在研究线性时不变系统时,将信号表示为基本信号的线性组合是有利的,这些基本信号应该具有以下两个性质.
- 有这些基本信号能够构成相当广泛的一类有用信号
- 线性时不变系统对每一个基本信号的响应应该十分简单,以使系统对任意输入信号的响应有一个很方便的表达式
连续和离散时间信号集都具有上述两个性质,即连续时间的 $e^{st}$ 和离散时间信号的 $z^N$ 信号,其中 $s$ 和 $z$ 都是复数.
在研究线性时不变系统时,复指数信号的重要性在于这样一个事实.即一个线性时不变系统对复指数信号的响应也是同样一个复指数信号,不同的只是幅度上的变换,即
$e s t \to H (s) e s t z N \to H (z) z N (1)$ $e^{st}\rightarrow H(s)e^{st} \\ z^N\rightarrow H(z)z^N \tag{1}$
其中 $H(s)$ 或 $H(z))$ 是一个复振幅因子,一般来说是复变量 $s$ 或 $z$ 的函数.

连续时间系统,其单位冲激响应为 $h(t)$ ,输入 $x(t)=e^{st}$
$y (t) = \int + \infty - \infty h (τ) x (t - τ) d τ = \int + \infty - \infty h (τ) e s (t - τ) d τ = e s t \int + \infty - \infty h (τ) e - s τ d τ (1) (2) (3)$ $\begin{align} y(t) &= \int_{-\infty}^{+\infty} h(τ)x(t-τ)dτ \\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}h(τ)e^{s(t-τ)}dτ \\ &=e^{st} \int_{-\infty}^{+\infty}h(τ)e^{-sτ}dτ \end{align}$
令 $H(s)= \int_{-\infty}^{+\infty}h(τ)e^{-sτ}dτ$ ,假定 $H(s)$ 收敛,于是系统对 $e^{st}$ 的响应为
$y (t) = H (s) e s t$ $y(t)=H(s)e^{st}$
其中 $H(s)$ 是一个常复数,其值决定于 $s$ .
离散时间系统,其单位冲激响应为 $h(n)$ ,输入 $x(n)=z^n$
$y (n) = \sum k = - \infty + \infty h (k) x (n - k) = \sum k = - \infty + \infty h (k) z n - k = \sum k = - \infty + \infty z n h (k) z - k (4) (5) (6)$ $\begin{align} y(n) &= \sum_{k=-\infty}^{+\infty} h(k)x(n-k) \\ &=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} h(k)z^{n-k} \\ &=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} z^nh(k)z^{-k} \end{align}$
令 $H(z)= \sum_{k=-\infty}^{+\infty}h(k)z^{-k}dτ$ ,假定 $H(z)$ 收敛,于是系统对 $z^n$ 的响应为
$y (n) = H (z) z n$ $y(n)=H(z)z^n$
其中 $H(z)$ 是一个常数,其值决定于 $z$ .

这里写图片描述

时移性质
$a k = 1 T \int T x (t) e - j k w 0 t d t = 1 T \int T x (t) e - j k (2 π / T) t d t$ $a_k = \frac{1}{T} \int_{T}x(t)e^{-jkw_0t}dt =\frac{1}{T} \int_{T}x(t)e^{-jk(2π/T)t}dt$
$b k = 1 T \int T x (t - t 0) e - j k w 0 t d t = 1 T \int T x (τ) e - j k (2 π / T) (τ + t 0) d τ \Leftarrow τ = t - t 0 = 1 T \int T x (τ) e - j k (2 π / T) τ d τ \cdot e - j k (2 π / T) t 0 = e - j k (2 π / T) t 0 \cdot a k (7) (8) (9) (10)$ $\begin{align} b_k &= \frac{1}{T} \int_{T}x(t-t_0)e^{-jkw_0t}dt \\ &=\frac{1}{T} \int_{T}x(τ)e^{-jk(2π/T)(τ+t_0)}dτ \qquad \Leftarrow τ=t-t_0 \\ &=\frac{1}{T} \int_{T}x(τ)e^{-jk(2π/T)τ}dτ\ \cdot e^{-jk(2π/T)t_0} \\ &= e^{-jk(2π/T)t_0}\ \cdot a _k \end{align}$
时域相乘待证明,未完成

假设x(t),y(t)是两个周期为T的周期信号,则乘积x(t)y(t)也是周期信号,周期为T.

x(t)↔aky(t)↔bkx(t)y(t)↔hk

ak=1T∫Tx(t)e−jkw0tdt=1T∫Tx(t)e−jk(2π/T)tdtbk=1T∫Ty(t)e−jkw0tdt=1T∫Ty(t)e−jk(2π/T)tdtx(t)=∑k=−∞+∞akejkw0t=∑k=−∞+∞akejk(2π/T)ty(t)=∑k=−∞+∞bkejkw0t=∑k=−∞+∞bkejk(2π/T)t

hk=1T∫Tx(t)y(t)e−jkw0tdt=1T∫T∑m=−∞+∞amejmw0t ⋅∑n=−∞+∞bnejnw0t ⋅e−jkw0tdt=1T∫T∑m=−∞+∞∑n=−∞+∞ambnej(m+n)w0t ⋅e−jkw0tdt=1T∫T∑m=−∞+∞∑n=−∞+∞ambnej(m+n−k)w0t}dt=1T∫T∑m=−∞+∞∑n=−∞+∞ambnej(m+n−k)w0t}dt(11)(12)(13)(14)(15)
- 时域卷积