周期信号的傅里叶级数表示

基本概念

  • 复指数集包括连续时间的estest 和离散时间信号的zNzN信号,其中ssz都是复数.一般来说,ssz可以是任意复数,但傅里叶分析仅限于这些变量的特殊形式.
    • 在连续时间情况下仅涉及ss的纯虚部值,即s=jw,因此仅考虑ejwtejwt形式的复指数.
    • 在离散时间情况下仅限于单位振幅的zz值,即z=ejw,因此仅考虑ejwnejwn形式的复指数.

线性时不变系统对复指数信号的响应

  • 在研究线性时不变系统时,将信号表示为基本信号的线性组合是有利的,这些基本信号应该具有以下两个性质.

    • 有这些基本信号能够构成相当广泛的一类有用信号
    • 线性时不变系统对每一个基本信号的响应应该十分简单,以使系统对任意输入信号的响应有一个很方便的表达式
  • 连续和离散时间信号集都具有上述两个性质,即连续时间的estest 和离散时间信号的zNzN信号,其中ssz都是复数.

  • 在研究线性时不变系统时,复指数信号的重要性在于这样一个事实.即一个线性时不变系统对复指数信号的响应也是同样一个复指数信号,不同的只是幅度上的变换,即
    estH(s)estzNH(z)zN(1)(1)est→H(s)estzN→H(z)zN

    其中H(s)H(s)H(z))H(z))是一个复振幅因子,一般来说是复变量ssz的函数.

对公式(1)的证明如下

  • 连续时间系统,其单位冲激响应为h(t)h(t),输入x(t)=estx(t)=est
    y(t)=+h(τ)x(tτ)dτ=+h(τ)es(tτ)dτ=est+h(τ)esτdτ(1)(2)(3)(1)y(t)=∫−∞+∞h(τ)x(t−τ)dτ(2)=∫−∞+∞h(τ)es(t−τ)dτ(3)=est∫−∞+∞h(τ)e−sτdτ

    H(s)=+h(τ)esτdτH(s)=∫−∞+∞h(τ)e−sτdτ ,假定H(s)H(s)收敛,于是系统对estest的响应为
    y(t)=H(s)esty(t)=H(s)est

    其中H(s)H(s)是一个常复数,其值决定于ss.
  • 离散时间系统,其单位冲激响应为h(n),输入x(n)=znx(n)=zn
    y(n)=k=+h(k)x(nk)=k=+h(k)znk=k=+znh(k)zk(4)(5)(6)(4)y(n)=∑k=−∞+∞h(k)x(n−k)(5)=∑k=−∞+∞h(k)zn−k(6)=∑k=−∞+∞znh(k)z−k

    H(z)=+k=h(k)zkdτH(z)=∑k=−∞+∞h(k)z−kdτ ,假定H(z)H(z)收敛,于是系统对znzn的响应为
    y(n)=H(z)zny(n)=H(z)zn

    其中H(z)H(z)是一个常数,其值决定于zz.

连续时间傅里叶级数

  • 连续时间周期信号的傅里叶级数表示
    x(t)=k=+akejkw0t=k=+akejk(2π/T)tak=1TTx(t)ejkw0tdt=1TTx(t)ejk(2π/T)tdt

    • 傅里叶级数的收敛
      • 问题引出:对于任何周期信号,总能求得一组akak.然而,在某些情况下,akak求得的值可能是无限大,导致求得的x(t)x(t)不收敛.
      • 对于大部分周期信号而言不存在不收敛问题. 如果一个周期信号满足如下条件,就能保证该信号可用傅里叶级数表示.
        • 在任何周期内,x(t)x(t)必须绝对可积,即
          T|x(t)|<∫T|x(t)|<∞

          这一条件保证了每一系数akak都是有限值,
        • 在任意区间内,x(t)x(t)具有有限个起伏变化;也就是说,在任何单个周期内,x(t)x(t)的最大值和最小值的数目有限.
        • x(t)x(t)的任何有限区间内,只有有限个不连续点,而且在这些不连续点上,函数是有限值.

连续时间傅里叶级数性质

这里写图片描述

部分性质证明

  • 时移性质
    ak=1TTx(t)ejkw0tdt=1TTx(t)ejk(2π/T)tdtak=1T∫Tx(t)e−jkw0tdt=1T∫Tx(t)e−jk(2π/T)tdt

    bk=1TTx(tt0)ejkw0tdt=1TTx(τ)ejk(2π/T)(τ+t0)dττ=tt0=1TTx(τ)ejk(2π/T)τdτ ejk(2π/T)t0=ejk(2π/T)t0 ak(7)(8)(9)(10)(7)bk=1T∫Tx(t−t0)e−jkw0tdt(8)=1T∫Tx(τ)e−jk(2π/T)(τ+t0)dτ⇐τ=t−t0(9)=1T∫Tx(τ)e−jk(2π/T)τdτ ⋅e−jk(2π/T)t0(10)=e−jk(2π/T)t0 ⋅ak
  • 时域相乘 待证明,未完成
    这里写图片描述
    假设x(t)x(t),y(t)y(t)是两个周期为T的周期信号,则乘积x(t)y(t)x(t)y(t)也是周期信号,周期为T.
    x(t)aky(t)bkx(t)y(t)hkx(t)↔aky(t)↔bkx(t)y(t)↔hk

    ak=1TTx(t)ejkw0tdt=1TTx(t)ejk(2π/T)tdtbk=1TTy(t)ejkw0tdt=1TTy(t)ejk(2π/T)tdtx(t)=k=+akejkw0t=k=+akejk(2π/T)ty(t)=k=+bkejkw0t=k=+bkejk(2π/T)tak=1T∫Tx(t)e−jkw0tdt=1T∫Tx(t)e−jk(2π/T)tdtbk=1T∫Ty(t)e−jkw0tdt=1T∫Ty(t)e−jk(2π/T)tdtx(t)=∑k=−∞+∞akejkw0t=∑k=−∞+∞akejk(2π/T)ty(t)=∑k=−∞+∞bkejkw0t=∑k=−∞+∞bkejk(2π/T)t

    hk=1TTx(t)y(t)ejkw0tdt=1TTm=+amejmw0t n=+bnejnw0t ejkw0tdt=1TTm=+n=+ambnej(m+n)w0t ejkw0tdt=1TTm=+n=+ambnej(m+nk)w0t}dt=1TTm=+n=+ambnej(m+nk)w0t}dt(11)(12)(13)(14)(15)(11)hk=1T∫Tx(t)y(t)e−jkw0tdt(12)=1T∫T∑m=−∞+∞amejmw0t ⋅∑n=−∞+∞bnejnw0t ⋅e−jkw0tdt(13)=1T∫T∑m=−∞+∞∑n=−∞+∞ambnej(m+n)w0t ⋅e−jkw0tdt(14)=1T∫T∑m=−∞+∞∑n=−∞+∞ambnej(m+n−k)w0t}dt(15)=1T∫T∑m=−∞+∞∑n=−∞+∞ambnej(m+n−k)w0t}dt

    • 时域卷积
      这里写图片描述
### 如何用MATLAB计算周期信号傅里叶级数展开 为了在MATLAB中计算周期信号傅里叶级数展开,通常需要以下几个步骤: 1. **定义周期信号** 需要先明确周期信号形式及其周期 \( T \),并将其离散化以便后续处理。 2. **计算傅里系数** 傅里叶级数的核心在于求解其系数 \( a_0, a_n, b_n \) 或者指数形式下的系数 \( c_k \)[^3]。这些系数可以通过积分或者数值方法获得。 3. **重构信号** 使用得到的傅里系数来重建原始信号,并观察不同谐波分量对整体信号的影响。 以下是基于上述原理的一个通用MATLAB代码框架用于计算和绘制周期信号傅里叶级数展开[^4]: ```matlab syms x; T = input('请输入信号周期 T:'); n = input('请输入谐波阶数 n:'); % 定义时间向量 t = 0:0.001:T; % 创建周期方波信号作为例子 f = max(square(pi * 0.5 * t / T, 50), 0); % 绘制原信号 plot(t, f); grid on; hold on; axis([0 T -0.5 1.5]); title('原始周期信号'); xlabel('时间'); ylabel('幅值'); % 计算直流分量 A0 A0 = mean(f); % 初始化变量存储傅里叶级数结果 F = zeros(size(t)); for i = 1:n % 数值积分法计算 an 和 bn 系数 An = trapz(t, cos(2 * pi * i * t / T) .* f) * 2 / T; Bn = trapz(t, sin(2 * pi * i * t / T) .* f) * 2 / T; % 构建傅里叶级数表达式 F = F + An * cos(2 * pi * i * t / T) + Bn * sin(2 * pi * i * t / T); end % 添加直流分量 F = F + A0; % 绘制傅里叶级数近似结果 figure; plot(t, F, 'r', 'LineWidth', 1.5); hold on; plot(t, f, 'b--', 'LineWidth', 1.5); legend('傅里叶级数近似', '原始信号'); title('傅里叶级数展开结果'); xlabel('时间'); ylabel('幅值'); ``` #### 关键点说明 - 上述代码中的 `trapz` 函数实现了数值积分的功能,适用于无法解析求解的情况[^4]。 - 用户可以根据实际需求替换输入信号 \( f(t) \),例如正弦波、锯齿波或其他任意周期信号。 - 调整谐波阶数 \( n \) 可以控制傅里叶级数逼近精度的效果。 --- ### 示例分析 对于一个标准的周期方波信号,其傅里叶级数展开仅包含奇次谐波项,且各次谐波的幅度按比例衰减[^5]。这可以从程序运行结果中直观体现来。 ---
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