【题解】「HAOI2015」树上操作（述链剖分）

题面

【题目描述】
有一棵点数为$N$ 的树，以点 $1$为根，且树点有边权。然后有$M$个操作，分为三种：
操作 $1$ ：把某个节点 $x$ 的点权增加 $a$ 。
操作 $2$ ：把某个节点 $x$ 为根的子树中所有点的点权都增加 $a$ 。
操作 $3$ ：询问某个节点 $x$ 到根的路径中所有点的点权和。
【输入】
第一行包含两个整数 $N,M$ 。表示点数和操作数。接下来一行 $N$ 个整数，表示树中节点的初始权值。接下来 $N-1$ 行每行两个个正整数 $fr,to$ ， 表示该树中存在一条边$(fr,to)$。再接下来 $M$ 行，每行分别表示一次操作。其中
第一个数表示该操作的种类$（1-3）$ ，之后接这个操作的参数$（x$ 或者 $xa）$ 。
【输出】
对于每个询问操作，输出该询问的答案。答案之间用换行隔开。
【样例输入】

5 5
1 2 3 4 5
1 2
1 4
2 3
2 5
3 3
1 2 1
3 5
2 1 2
3 3

【样例输出】

6
9
13

【数据范围】
对于 $100\%$ 的数据， $N,M\le 100000$ ，且所有输入数据的绝对值都不会超过 $10^6$ 。

算法分析

述链剖分模板题目。
对于修改某个节点 $x$ 为根的子树，在$DFS$序中，子树在连续的相邻的位置，因此只需要知道节点$x$的位置和子树总的节点数目即可。

参考程序

#include<bits/stdc++.h>
#define N 200100 
#define ll long long 
using namespace std;
int head[N],nxt[N],to[N],tot;
ll w[N];
int n,m;
int father[N],deep[N],size[N];//父节点，深度，子树结点数 
int son[N],top[N];//重儿子，所在重路径的顶部结点(深度最小的结点)
int id[N],rev[N],t;//在线段树中的下标(dfs序)，线段树中下标的结点,即rev[id[u]]=u ,dfs序号 
ll sum[2*N],add[2*N]; //线段树 
ll ans_sum;
void Add(int u,int v)
{
    nxt[++tot]=head[u];
    to[tot]=v;
    head[u]=tot;
}
void dfs1(int u,int dad)
{
    size[u]=1;  //本身结点数为1 
    father[u]=dad;   
    deep[u]=deep[dad]+1;
    for(int i=head[u];i!=-1;i=nxt[i])
    {
        int v=to[i];
        if(v!=dad)
        {
            dfs1(v,u);
            size[u]+=size[v];
            if(size[v]>size[son[u]]) son[u]=v;//找重儿子 
        }
    }
}
void dfs2(int u,int dad)
{
    int v=son[u];
    if(v)  //优先选择重儿子 
    {
        id[v]=++t;//dfs序列 
        top[v]=top[u];
        rev[t]=v;
        dfs2(v,u); 
    }
    for(int i=head[u];i!=-1;i=nxt[i])
    {
        v=to[i];
        if(!top[v])
        {
            id[v]=++t;
            top[v]=v;        
            rev[t]=v;
            dfs2(v,u);
        }
    }
}
void built(int k,int l,int r)   //线段树建树
{
    if(l==r)    {sum[k]=w[rev[l]];return;} 
    int mid=(l+r)/2;
    built(2*k,l,mid);
    built(2*k+1,mid+1,r);
    sum[k]=sum[2*k]+sum[2*k+1];
} 
void pushdown(int k,int l,int r)    //标记下传
{
    int mid=(l+r)/2;
    if(add[k]==0) return;
    add[2*k]+=add[k];
    sum[2*k]+=(ll)(mid-l+1)*add[k];
    add[2*k+1]+=add[k];
    sum[2*k+1]+=(ll)(r-mid)*add[k];
    add[k]=0;   //下传后标记清零 
}
void modify(int k,int l,int r,int x,int y,ll v)    //区间修改
{
    if(x>r||y<l) return;
    if(x<=l&&r<=y)
    {
        add[k]+=v;
        sum[k]+=(r-l+1)*v;
        return;
    }
    pushdown(k,l,r); //下传标记
    int mid=(l+r)/2;
    if(x<=mid) modify(2*k,l,mid,x,y,v);
    if(y>=mid+1) modify(2*k+1,mid+1,r,x,y,v);
    sum[k]=sum[2*k]+sum[2*k+1]; //下传后更新 
}
void query(int k,int l,int r,int x,int y)	//区间询问
{
    //cout<<l<<" "<<r<<" "<<x<<" "<<y<<endl;
    if(x>r||y<l) return ;
    if(x<=l&&r<=y) 
    {
        ans_sum+=sum[k];					//全部变量ans_sum统计
        return;
    }
    pushdown(k,l,r); //下传标记
    int mid=(l+r)/2;
    if(x<=mid) query(2*k,l,mid,x,y);
    if(y>=mid+1) query(2*k+1,mid+1,r,x,y);
} 
void ask(int u,int v)
{       
    int fu=top[u],fv=top[v];
    while(fu!=fv)   //不在同一条重链上  
    {
        if(deep[fu]<deep[fv]) {swap(u,v);swap(fu,fv);}   //选择深度大的往上跳
        query(1,1,n,id[fu],id[u]);  //访问路径 fu->u 
        u=father[fu];
        fu=top[u]; 
    }
    if(deep[u]>deep[v]) swap(u,v);   //已经跳到同一条重路径上了 
    query(1,1,n,id[u],id[v]);   //访问路径 u->v 
}
int main()
{
    memset(head,-1,sizeof(head));
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lld",&w[i]);
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        Add(x,y);
        Add(y,x);
    }
    dfs1(1,0);
    id[1]=++t;  //初始化根节点 
    top[1]=1;
    rev[1]=1;
    dfs2(1,0); 
    built(1,1,n); 
    int q;
    int x;
    ll y;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d",&q);  
        if(q==1)		//单点修改
        {
            scanf("%d%lld",&x,&y);
            modify(1,1,n,id[x],id[x],y);
        }
        if(q==2)		//子树修改
        {
            scanf("%d%lld",&x,&y);
            modify(1,1,n,id[x],id[x]+size[x]-1,y);	
        }
        if(q==3)		//路径询问
        {
            scanf("%d",&x);
            ans_sum=0;
            ask(1,x); //路径处理 
            printf("%lld\n",ans_sum);
        }
    }
    return 0;
}