【题解】[SDOI2010]古代猪文

最新推荐文章于 2024-10-03 17:28:04 发布

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本文探讨了猪王国古代文字的发展历程，特别关注了其从繁复到简化的转变。研究指出，早期猪文的字符数量巨大，由于资源限制，国王未编纂字典。随着时间推移，部分文字被淘汰，某朝代仅保留了原始文字的1/k。通过数学建模，文章计算了所有可能的k值下文字保留数量的总和，进而估算出研究古代文字的代价。算法涉及欧拉定理、Lucas定理、中国剩余定理和快速幂等数论概念。

【题目描述】

猪王国的文明源远流长，博大精深。

$i P i g$ 在大肥猪学校图书馆中查阅资料，得知远古时期猪文文字总个数为 $n$ 。当然，一种语言如果字数很多，字典也相应会很大。当时的猪王国国王考虑到如果修一本字典，规模有可能远远超过康熙字典，花费的猪力、物力将难以估量。故考虑再三没有进行这一项劳猪伤财之举。当然，猪王国的文字后来随着历史变迁逐渐进行了简化，去掉了一些不常用的字。

$i P i g$ 打算研究古时某个朝代的猪文文字。根据相关文献记载，那个朝代流传的猪文文字恰好为远古时期的 $1 / k$ ，其中 $k$ 是 $n$ 的一个正约数（可以是 $1$ 或 $n$ ）。不过具体是哪 $1 / k$ ，以及 $k$ 是多少，由于历史过于久远，已经无从考证了。

$i P i g$ 觉得只要符合文献，每一种 $k ∣ n$ 都是有可能的。他打算考虑到所有可能的 $k$ 。显然当 $k$ 等于某个定值时，该朝的猪文文字个数为 $n / k$ 。然而从 $n$ 个文字中保留下 $n / k$ 个的情况也是相当多的。 $i P i g$ 预计，如果所有可能的 $k$ 的所有情况数加起来为 $p$ 的话，那么他研究古代文字的代价将会是 $g^p$ 。

现在他想知道猪王国研究古代文字的代价是多少。由于 $i P i g$ 觉得这个数字可能是天文数字，所以你只需要告诉他答案除以 $999911659$ 的余数就可以了。