长链剖分(知识点整理+板子总结)

最新推荐文章于 2025-03-05 16:18:18 发布
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#长链剖分 #知识点总结

博客介绍了长链剖分这一数据结构优化技术，用于维护树中与深度相关的子树信息。通过长链剖分，可以高效地在O(n)时间内解决求解子树中最深节点个数的问题。文章详细阐述了长链剖分的原理、步骤，并给出了相应的C++代码实现。此外，还提供了题目示例和解题思路。

思路来源

https://blog.nowcoder.net/n/5eaebd22f5f846838c637bc337cc1ee9

https://blog.youkuaiyun.com/litble/article/details/87965999

知识点整理

长链剖分，用于维护子树中只与深度有关的信息，多用于静态

从任何一个点往上跳到根，最多经过\sqrt{n}条不同的长链。

 

长链剖分，顾名思义，每个点维护子树中最长的那一条链，

[l[x],l[x]+len[x]-1]是其长链区间，到l[x]的偏移量也确定了它的深度

和dsu on tree类似，但若干条链分别占用不同位置的数组空间，只有相同链的内存共用，

所以不用像dsu on tree那样清空内存，所以预处理长链长度之后，只需要三步

 

①搜长儿子，继承长儿子的答案

②把短儿子往长儿子上挂，计算短儿子的答案

③把自己这个节点挂上去

 

由于若干条长链不交，每个点在向上合并的时候，只会作为短链出现在一条链里，所以是O(n)的

似乎还是指针版的略快一点，然而习惯用数组下标写……

题目

n(n<=1e6)个点的树，

对于每个点，求其子树中出现节点最多的深度d，

如果存在多个深度，它们的节点个数相同，则返回最小的哪个

最低0.47元/天 解锁文章
长链剖分算法完整总结
lucius-liu.cn
08-17 1933
涉及深度的树形 DP，长链剖分可以将其复杂度从 O(n^2) 优化到 O(n)，基本思想是采用了指针偏移直接从重 (长) 儿子处继承了大量信息。长链剖分优化树形 DP 可以解决的问题与点分治以及树上启发式合并具有一定的重复性。通常解决的题目只有一次询问，如果有多次询问，需要离线操作。
2019 CCPC-Final G.Game on the Tree(长链剖分+DP)
积极的防守者的博客
02-05 1200
题目大意 两个人在一个以1为根的树上玩游戏，一开始硬币在1。然后每一轮，如果当前硬币在u，当前的人可以选择一个v把硬币移动到v，条件是移动的距离要大于上一轮的人移动的距离。第一个人可以随便移动。 问给出的树有多少个以1为根的子图可以让后手必胜。 n≤2e5n\le2e5n≤2e5 解题思路 这题很容易推出来当1是树直径的中点的时候后手必胜。 然后想要得到1是树直径中点的方案数，可以先得到1的每个儿...
[学习笔记]长链剖分
weixin_34167043的博客
01-13 604
处理和深度有关的一些事情 长链剖分的代码和重链剖分一样。只是重儿子条件不同罢了。 %%zzq upda：2019.3.17 之前和没学一样。。。 补充： 本质是优化DP，DP一维和深度有关 实现有一些类似dsu on tree 都是利用长链/重链保留下来的信息，减少时间/空间复杂度 长链剖分还有一个操作精髓是继承长儿子的信息 通常用指针分配...
长链剖分
weixin_33712987的博客
03-06 240
因为重链剖分叫重女儿所以长链剖分叫长女儿。 参考资料。 O(nlogn)-O(1)求k级祖先，O(logn)求lca(也就是二分答案之后求k级祖先判定...)。 O(n)统计以深度为下标的信息。 性质1，总链长是O(n)数量级的。 写法跟树剖类似。 应用1：求k级祖先。 此处需要性质2：k级祖先所在长链，链长大于k。 预处理出每个链头上下长度为链长的信息。 值得注意的地方：l...
2019.01.08 codeforces 1009F. Dominant Indices（长链剖分）
weixin_30287169的博客
01-08 200
传送门 长链剖分模板题。 题意：给出一棵树，设fi,jf_{i,j}fi,j​表示iii的子树中距离点iii距离为jjj的点的个数，现在对于每个点iii要求出使得fif_ifi​取得最大值的那个jjj。 思路：有一个明显的状态转移式fi,j=∑v∈sonifv,j−1f_{i,j}=\sum_{v\in son_i}f_{v,j-1}fi,j​=∑...
Codeforces 1009F 长链剖分优化dp做法
stdforces的博客
09-19 390
长链剖分优化dp
【十二省联考2019】希望（容斥，换根DP，长链剖分，懒标记）
ez_lcw的博客
10-15 253
暴力的想法是考虑钦定每个点作为到达点并统计贡献，但显然这样会算重。 注意到会算重的到达点一定构成了一个连通块，这是一个很好的性质，方便了我们容斥：我们直接用点的贡献减去边的贡献（一条边的两个端点同时是到达点）即可，因为一个连通块满足点数减边数等于 111。 先考虑点的贡献，需要统计以某个点为根且深度不超过 LLL 的连通块个数。 可以换根 DP： 设 fu,if_{u,i}fu,i​ 表示 uuu 子树内以 uuu 为根且深度不超过 iii 的连通块个数，转移显然：fu,i=∏v(fv,i−1+1)f_{u
长链剖分介绍
最新发布
Free Loop~~~跳动的音符
03-05 241
/ 邻接表存树// dep[u]:u的深度，len[u]:u所在长链长度// fa[u]:父节点，hson[u]:长儿子int top[N];// top[u]:u所在长链的链顶// 第一次DFS：计算深度、长儿子、链长len[u] = 1;dfs1(v, u);// 更新长儿子（选择深度最大的子树）// 第二次DFS：确定链顶// 长儿子继承链顶dfs2(v, v);// 其他儿子新建链// 根据题目确定根节点return 0;
关于长链剖分
Hellsegamosken
09-07 2136
看这样一个题（dsu on the tree）： 给你一棵树，每个节点有一种颜色，问你每个子树x的颜色数最多的那种颜色，如果颜色数相同，那么种类数相加。 考虑最暴力的暴力，对于每个点遍历它的子树，统计答案，然后再撤销。但是这样太傻了，每个点显然可以继承一个儿子的信息，我们选择继承它的重儿子的信息，只 dfs 轻儿子。这样对于每个点，会被 dfs 它到根之间轻边数量次。所以复杂度是 O(nlog...
长链剖分初步
xiayuyang
03-12 231
长链剖分和重链剖分的区别在于每个点的特殊儿子判断的方式从子树大小变成了最深深度大小。 这样的话，我们在维护某些信息的时候可以直接继承其特殊儿子的信息，就能够优化复杂度。 优化dp的例题 首先这个题有一个n^2的dp f[u][j+1]=∑f[v][j]f[u][j+1]=\sum f[v][j]f[u][j+1]=∑f[v][j]表示第u个节点，深度为j的点的数量。 然后考虑用长链剖分优化，对于每...
长链剖分（学习笔记）
继续学吧
12-02 372
很久很久以前erkkierkkoerkkierkkoerkkierkko给我们分享了一下这个东西，好像和dsu&amp;nbsp;on&amp;nbsp;treedsu\ on\ treedsu&amp;nbsp;on&amp;nbsp;tree的思想很像，都是长链直接转移，短链暴力算 其中有一个很有意思的东西就是指针动态分配数组空间，因为一个儿子的信息刚好是父亲往左或者往右移一步，比如说深度，如果一个dpdpdp数组是以深度为...
模板：长链剖分
BUG_Creater_jie的博客
12-19 425
解决与深度有关的dp的利器
雅礼2017 WC模拟(1.21) ：看门人（长链剖分）
DZYO的博客
03-22 598
题意： 给一棵树，边长度为1且带有权值，每个点有[li,ri][li,ri][l_i,r_i] ，求其子树中经过他的长度在[li,ri][li,ri][l_i,r_i]的路径的权值的最小值。 (n≤1e6)(n≤1e6)(n \le 1e6) 题解： 要求O(nlogn)O(nlog⁡n)O(n \log n)，可以使用长链剖分解决。 因为每条长链独立，所以总的合并深度只有O(n)O(n...
长链剖分优化树形DP
02-25
<think>嗯，用户现在问的是关于长链剖分优化树形DP的问题。之前他们问过代码是否能通过样例，现在转向具体的算法优化方法。我需要先回忆一下长链剖分的基本概念和应用场景。 长链剖分主要用于优化树上的动态规划问题，特别是涉及到节点深度的操作，比如查询k级祖先或者子树中与深度相关的统计。用户可能是在解决这类题目时遇到了性能问题，需要优化时间复杂度。 用户之前的对话中提到了代码在处理深度时可能存在根节点定义的问题，这可能影响了样例的正确性。现在他们想深入了解长链剖分如何优化树形DP，可能需要理论上的解释和实现细节。 我应该从长链剖分的定义开始，解释它与重链剖分的不同之处，比如按子树最大深度划分链，而不是子树大小。然后说明长链剖分如何优化DP，比如利用指针偏移技术，减少内存分配和复制，从而将复杂度从O(n^2)降到O(n)。 接着，需要举一个具体的例子，比如树上每个节点的子树中某个深度相关的统计问题，用传统方法和长链剖分优化的方法对比。然后给出代码框架，展示如何实现，比如预处理重儿子，DFS过程中处理轻链和重链的合并。 用户可能还想知道适用的场景和注意事项，比如问题是否与深度相关，内存管理的技巧等。最后总结长链剖分的优势和局限性，确保用户能够正确应用。 需要确保解释清晰，步骤详细，避免使用过于专业的术语，但又要准确。可能用户有竞赛编程的背景，所以代码示例部分应该简洁明了，突出关键部分，比如指针传递和数组合并的操作。</think>长链剖分是优化树形动态规划（DP）的重要技术，尤其擅长处理**与深度相关**的树形结构问题（如子树深度统计、k级祖先查询等）。其核心思想是通过**链式结构复用计算结果**，将复杂度从 *O(n^2)* 优化至 *O(n)*。 --- ### **一、长链剖分核心逻辑** #### **1. 链划分规则** - **长链定义**：每个节点选择**子树深度最大**的子节点作为“重儿子”（类比重链剖分选择子树大小最大的子节点）。 - **链结构**：由重儿子连接形成的链称为**长链**，其他子节点作为链的起点形成新链。 #### **2. 优化原理** - **指针偏移复用内存**：在DFS过程中，优先处理重儿子所在的链，通过**直接传递指针**复用其内存空间，避免重复计算。 - **轻链合并复杂度分摊**：轻链数据通过内存拷贝合并到父链，由于每条轻链长度唯一且较短，总时间复杂度保持线性。 --- ### **二、典型应用场景** #### **1. 子树深度统计** **问题**：统计每个节点子树中所有节点到它的最大距离（即子树高度）。 **传统DP**：每个节点遍历子树，时间复杂度 *O(n^2)*。 **长链优化**：利用长链传递高度信息，合并轻链时直接取最大值，复杂度 *O(n)*。 #### **2. k级祖先查询** **问题**：快速查询树上任意节点的第k级祖先。 **传统方法**：倍增法 *O(n log n)* 预处理，*O(log k)* 查询。 **长链优化**：长链剖分预处理每个链顶的祖先跳跃表，结合二进制拆分，*O(n)* 预处理，*O(1)* 查询。 --- ### **三、优化实现步骤（以子树最大深度为例）** #### **1. 预处理长链结构** ```cpp vector<int> depth(n), max_depth(n); // depth[u]: 节点u的深度 vector<int> heavy_son(n, -1); // heavy_son[u]: 节点u的重儿子 // 第一次DFS：计算每个节点的重儿子 void dfs1(int u, int fa) { max_depth[u] = depth[u] = depth[fa] + 1; for (int v : tree[u]) { if (v == fa) continue; dfs1(v, u); if (max_depth[v] > max_depth[u]) { max_depth[u] = max_depth[v]; heavy_son[u] = v; } } } ``` #### **2. DP过程复用内存** ```cpp // dp[u][i]: 节点u子树中深度为depth[u]+i的节点数 vector<int> dp[MAX_N]; // 动态数组内存池 // 第二次DFS：利用长链传递指针 void dfs2(int u, int fa) { if (heavy_son[u] != -1) { dfs2(heavy_son[u], u); // 优先处理重儿子 dp[u] = dp[heavy_son[u]]; // 直接复用重儿子的内存 dp[u].push_back(1); // 当前节点自身贡献 } else { dp[u].push_back(1); // 叶子节点初始化 } // 合并轻链数据 for (int v : tree[u]) { if (v == fa || v == heavy_son[u]) continue; dfs2(v, u); for (int i = 0; i < dp[v].size(); ++i) { if (i+1 < dp[u].size()) { dp[u][i+1] += dp[v][i]; // 偏移合并轻链数据 } else { dp[u].push_back(dp[v][i]); } } } } ``` --- ### **四、复杂度分析** - **时间**：每个轻链数据最多被拷贝一次，总拷贝次数为 *O(n)*。 - **空间**：通过指针复用，总内存占用为 *O(n)*（所有链的长度之和为n）。 --- ### **五、适用问题特征** 1. **子树统计与深度强相关**（如子树高度、某深度的节点数）。 2. **查询路径与链结构相关**（如k级祖先、路径统计）。 3. **需线性复杂度优化**的树形DP问题。 --- ### **六、对比其他优化方法** | 方法 | 优势 | 局限性 | |--------------|-----------------------------|-------------------------| | **长链剖分** | 严格线性复杂度，内存复用高效 | 仅适用于深度相关问题 | | **重链剖分** | 通用性强，适合路径查询问题 | 复杂度常带log因子 | | **DFS序+线段树** | 灵活支持区间操作 | 复杂度 *O(n log n)* | 通过长链剖分，可以将特定树形DP问题的复杂度优化到理论下限，是算法竞赛中树形问题的核心优化手段之一。
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