【题解】绿豆蛙的归宿

绿豆蛙的归宿

【题目描述】

给出一个有向无环的连通图，起点为 $1$ 终点为 $N$ ，每条边都有一个长度。绿豆蛙从起点出发，走向终点。数据保证从起点出发能够达到图中所有点，图中所有点都能够到底终点。

到达每一个顶点时，如果有 $K$ 条离开该点的道路，绿豆蛙可以选择任意一条道路离开该点，并且走向每条路的概率为 $\frac{1}{K}$ 。

现在绿豆蛙想知道，从起点走到终点的所经过的路径总长度期望是多少？

【输入】

第一行: 两个整数 $N,M$ ，代表图中有 $N$ 个点、$M$ 条边。

第二行到第 $1+M$ 行: 每行 $3$ 个整数 $a、b、c$ ，代表从 $a$ 到 $b$ 有一条长度为 $c$ 的有向边。

【输出】

从起点到终点路径总长度的期望值，四舍五入保留两位小数。

【样例输入】

4 4
1 2 1
1 3 2
2 3 3
3 4 4

【样例输出】

7.00

【数据范围】

对于 $100\%$ 的数据 $N\le 100000，M\le 2\times N$ 。

【算法分析】

可以考虑顺推和逆推。

顺推

设 $f[x]$ 表示结点 $1$ 走到结点 $x$ 所经过的路径的期望长度。显然 $f[1]=0$ ，最后要求 $f[n]$ 。

设从 $x$ 出发，有 $k$ 条路径，分别到达 $y_1,y_2...y_k$，边长分别为 $z_1,z_2$