【题解】Rainbow的信号（位运算+概率期望）

Rainbow的信号

$1s,128MB$

【题目描述】

$Freda$ 发明了传呼机之后，$rainbow$ 进一步改进了传呼机发送信息所使用的信号。由于现在是数字、信息时代，$rainbow$ 发明的信号用 $N$ 个自然数表示。为了避免两个人的对话被 大坏蛋 $VariantF$ 偷听，$rainbow$ 把对话分成 $A、B、C$ 三部分，分别用 $a、b、c$ 三个密码 加密。现在 $Freda$ 接到了 $rainbow$ 的信息，她的首要工作就是解密。$Freda$ 了解到，这三部 分的密码计算方式如下：

在 $1\sim N$ 这 $N$ 个数中，等概率地选取两个数 $l、r$，如果 $l>r$，则交换 $l、r$。把信号中的第 $l$ 个数到第 $r$ 个数取出来，构成一个数列 $P$ 。

$A$ 部分对话的密码是数列 $P$ 的 $xor$ 和的数学期望值。$xor$ 和就是数列 $P$ 中各个数异或之后得到的数； $xor$ 和的期望就是对于所有可能选取的 $l、r$，所得到的数列的 $xor$ 和的平均数。

$B$ 部分对话的密码是数列 $P$ 的 $and$ 和的期望，定义类似于 $xor$ 和 。

$C$ 部分对话的密码是数列 P 的 $or$ 和的期望，定义类似于 $xor$ 和 。

【输入格式】

第一行一个正整数 $N$ 。

第二行 $N$ 个自然数，表示 $Freda$ 接到的信号。

【输出格式】

一行三个实数，分别表示 $xor$ 和、$and$ 和、$or$ 和的期望，四舍五入保留 $3$ 位小数，相邻两个实数之间用不少于一个空格隔开。三个实数分别占该测试点 $40\%、30\%、30\%$ 的分数， 如果你的输出少于三个实数，或者你的输出不合法，将被判 $0$ 分。

【样例输入】

2 
4 5 

【样例输出】

2.750 4.250 4.750 

【样例解释】

包含共四种可能的 $l,r$ ：

$l,r$	$xor$ 和	$and$ 和	$or$ 和
$1,1$	$4$	$4$	$4$
$1,2$	$1$	$4$	$5$
$2,1$	$1$	$4$	$5$
$2,2$	$5$	$5$	$5$

以上每一对 $l,r$ 出现的概率相同，因此分别对 $xor、and、or$ 和取平均数，就是数学期望值。

【数据范围】

对于 $20\%$ 的数据，$1\le N\le 100$ 。

对于 $40\%$ 的数据，$1\le N\le 1000$ 。

对于另外 $30\%$ 的数据，$N$ 个数为 $0$ 或 $1$ 。

对于 $100\%$ 的数据，$1\le N\le 100000$ ，$N$ 个自然数均不超过 $10^9$ 。

【算法分析】

对于位运算，最后的结果只和参与运算的当前位的值有关，因此我们可以单独考虑每一位的结果，将每一位对结果的贡献相加，就得到了最后的答案。

将 $1\sim n$ 转换为二进制，根据题意，转化的二进制不会超过 $31$ 位，则依次计算 $1\sim n$ 的二进制第 $0$ 位，第 $1$ 位… 第 $30$ 位进行位运算的值。

for(int i=0;i<31;i++)	//二进制位
    for(int j=1;j<=n;j++)	// n个数的二进制第i位进行位运算
        	//......

$l,r$ 出现的概率相同，因此，$l==r$ 出现的概率为 $\frac{1}{n^2}$ ，$l\ne r$ 出现的概率为 $\frac{2}{n^2}$ 。

考虑 $n$ 个数的第 $k$ 位二进制的位运算，设 $a[i][j]$ 表示第 $i$ 个数二进制的第 $j$ 位的值。

$and$ 和的期望：

$and$ 的特点就是只要出现 $0$ 结果就为 $0$ ，只有全为 $1$ 时，结果才是 $1$ 。依次计算前 $r$ 个数的 $and$ 和的期望，同时记录前 $r$ 个数中 $0$ 最后一次出现的位置，$last[0]=i$ 。

若第 $r$ 个数的第 $k$ 位为 $a[r][k]=1$ ，以 $r$ 为右端点， $[l=last[0]+1,r]$ 这个区间任意选两个数组成的区间 $and$ 运算都是 $1$ ，则对最后 $and$ 和的期望的贡献为：

if(last[0]+1==r) $ans\_and+=2^k\times \frac{1}{n^2}$

if(last[0]+1<r)​ $ans\_and+=2^k\times (r-(last[0]+1))\times \frac{2}{n^2}$

若第 $r$ 个数的第 $k$ 位为 $a[r][k]=0$ ，那么不存在 $r$ 为右端点的组合使得第 $k$ 位二进制进行 $and$ 运算结果为 $1$ 。

$or$ 和的期望：

$or$ 的特点就是只要有 $1$ ，最后的结果就是 $1$ ，只有全为 $0$ ，结果才是 $0$ 。记录前 $r$ 个数中 $1$ 最后一次出现的位置，$last[1]=i$ 。

若第 $r$ 个数的第 $k$ 位为 $a[k][r]=1$，以 $r$ 为右端点，前面的所有点都可以和 $r$ 组成区间满足区间的数 $or$ 运算为 $1$ ，则对最后 $or$ 和的期望的贡献为：

$[l,r],l=r$ $and\_or+=2^k\times \frac{1}{n^2}$

$[l,r],1\le l<r$ $and\_or+=2^k\times (r-1)\times \frac{2}{n^2}$

若第 $r$ 个数的第 $k$ 位为 $a[r][k]=0$ ，那么 $r$ 为右端点，$l(1\le l\le last[1])$ 组成的区间的数 $or$ 运算为 $1$ ，则对最后 $or$ 和的期望的贡献为：

$and\_or+=2^k\times last[1]\times \frac{2}{n^2}$

$xor$ 和的期望：

如果 l==r ，设 $lxorr=x$ 。将 $l$ 往左扫描，遇到 $0$ ，区间 $[l,r]$ 的 $xor$ 和不变，遇到 $1$ ，区间 $[l,r]$ 的 $xor$ 和取反。

如下图，当第 $r$ 个数的第 $k$ 位为 $a[r][k]=0$ 时，当 $l$ 取灰色的位置时，区间 $[l,r]$ 的 $xor$ 和为 $1$ ，白色的位置时，区间 $[l,r]$ 的 $xor$ 和为 $0$ 。

因此，建立两个变量 $c_1,c_2$ 分别表示第从 $r-1$ 倒着往前数的白色区域和灰色区域的长度。

当 $a[r][k]=0$ 时，则左端点 $l$ 只能选择灰色的部分，对最后 $xor$ 和的贡献的期望为：

$ans\_xor+=2^k\times c_2\times \frac{2}{n^2}$

当 $a[r][k]=1$ 时，则左端点 $l$ 只能选择白色的部分，对最后 $xor$ 和的贡献的期望为：

$ans\_xor+=2^k\times c_1\times \frac{2}{n^2}$

同时，需要加上 l==r 的情况，$and\_xor+=2^k\times \frac{1}{n^2}$

将 $r$ 所在的区域一直看作白色，左侧依次为灰色，白色，灰色…

计算 $c_1,c_2$ 时，当 $r$ 增加 $1$ ，c1++ ，当 $a[r][k]=1$ ，$c1$ 变为灰色区域长度，$c2$ 变为白色区域长度，交换 $swap(c_1,c_2)$ 。

总的时间复杂度为 $O(kN)$ ，$k$ 为二进制位数。

在进行位运算时，可以不用将每个数拆分成二进制，可以直接使用位运算提前二进制下的每一位的值，$x$ 的二进制为从有右往左依次为第 $0$ 位，…，提取 $x$ 第 $k$ 的值：(x>>k)&1

【参考程序】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100010;
int a[N],n,last[2];
long double ans_xor,ans_or,ans_and;
void solve()
{
	for(int i=0;i<31;i++)
	{
		last[1]=last[0]=0;
		int c1=0,c2=0;
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			int t=(a[j]>>i)&1;
			if(t==1)
			{
				ans_or+=(1<<i)*2.0/n/n*(j-1);		
				ans_or+=(1<<i)*1.0/n/n;
				ans_and+=(1<<i)*2.0/n/n*(j-(last[0]+1));
				ans_and+=(1<<i)*1.0/n/n;
				ans_xor+=(1<<i)*2.0/n/n*c1; 
				ans_xor+=(1<<i)*1.0/n/n;
			}
			else 
			{
				ans_or+=(1<<i)*2.0/n/n*last[1];
				ans_xor+=(1<<i)*2.0/n/n*c2;
			}
			last[t]=j;
			c1++;
			if(t==1) swap(c1,c2);
			
		}
	}
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&a[i]);	
	solve();
	printf("%.3Lf %.3Lf %.3Lf",ans_xor,ans_and,ans_or);
	return 0;
}