【题解】Rainbow的信号（位运算+概率期望）

最新推荐文章于 2021-12-01 13:15:04 发布

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本文介绍了一种基于数字信号的解密算法，用于保护Freda与Rainbow之间的通信免受VariantF监听。该算法涉及XOR、AND、OR运算的数学期望值计算，适用于信息安全与算法设计领域。

Rainbow的信号

$MB1s,128\ MB$

【题目描述】

$F r e d a$ 发明了传呼机之后， $r a i n b o w$ 进一步改进了传呼机发送信息所使用的信号。由于现在是数字、信息时代， $r a i n b o w$ 发明的信号用 $N$ 个自然数表示。为了避免两个人的对话被大坏蛋 $V a r i a n t F$ 偷听， $r a i n b o w$ 把对话分成 $A 、 B 、 C$ 三部分，分别用 $a 、 b 、 c$ 三个密码加密。现在 $F r e d a$ 接到了 $r a i n b o w$ 的信息，她的首要工作就是解密。 $F r e d a$ 了解到，这三部分的密码计算方式如下：

在 $1∼N1\sim N$ 这 $N$ 个数中，等概率地选取两个数 $l 、 r$ ，如果 $l > r$ ，则交换 $l 、 r$ 。把信号中的第 $l$ 个数到第 $r$ 个数取出来，构成一个数列 $P$ 。

$A$ 部分对话的密码是数列 $P$ 的 $x o r$ 和的数学期望值。 $x o r$ 和就是数列 $P$ 中各个数异或之后得到的数； $x o r$ 和的期望就是对于所有可能选取的 $l 、 r$ ，所得到的数列的 $x o r$ 和的平均数。

$B$ 部分对话的密码是数列 $P$ 的 $a n d$ 和的期望，定义类似于 $x o r$ 和。

$C$ 部分对话的密码是数列 P 的 $o r$ 和的期望，定义类似于 $x o r$ 和。

【输入格式】

第一行一个正整数 $N$ 。

第二行 $N$ 个自然数，表示 $F r e d a$ 接到的信号。

【输出格式】

一行三个实数，分别表示 $x o r$ 和、 $a n d$ 和、 $o r$ 和的期望，四舍五入保留 $3$ 位小数，相邻两个实数之间用不少于一个空格隔开。三个实数分别占该测试点 $40%、30%、30%40\%、30\%、30\%$ 的分数，如果你的输出少于三个实数，或者你的输出不合法，将被判 $0$ 分。