【HAOI2015】【树形dp】树上染色

这是一道关于树形动态规划的问题,目标是在一棵点数为N的树上选择K个点染成黑色,其余点染成白色,以最大化黑点与黑点、白点与白点之间的距离之和。输入包括树的结构和K的值,输出是最大收益。解题策略是考虑每个子树及其与父节点边的贡献,将问题转化为树形背包问题进行求解。

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【题目描述】
有一棵点数为N的树,树边有边权。给你一个在0~N之内的正整数K,你要在这棵树中选择K个点,将其染成黑色,并将其他的N-K个点染成白色。将所有点染色后,你会获得黑点两两之间的距离加上白点两两之间距离的和的收益。问收益最大值是多少。
【输入格式】
第一行两个整数N,K。
接下来N-1行每行三个正整数fr,to,dis,表示该树中存在一条长度为dis的边(fr,to)。输入保证所有点之间是联通的。
【输出格式】
输出一个正整数,表示收益的最大值。
【输入样例1】
3 1
1 2 1
1 3 2
【输出样例1】
3
【输入样例2】
5 2
1 2 3
1 5 1
2 3 1
2 4 2
【输出样例2】
17
【样例解释】
在第二个样例中,将点1,2染黑就能获得最大收益。
【数据范围】
对于30%的数据,N<=20
对于50%的数据,N<=100
对于100%的数据,N<=2000,0<=K<=N。
题解:
其实这个题只需要考虑每个子树和他父亲的那条边对答案做了多少贡献即可(也就是子树内的白点数乘上子树外的白点数再加上子树内的黑点数乘上子树外的黑点数,最后再乘上边权),这个问题是可以分割成子问题的,对于每个子问题我们就可以枚举父节点给他的每个儿子分多少个黑点,然后就成了树形背包了。

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#include<vector>
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### 洛谷平台上的动态规划刷题推荐顺序 对于初学者来说,掌握动态规划的基础概念和常见模型非常重要。以下是基于洛谷平台的动态规划学习路径以及推荐的刷题顺序: #### 一、基础知识积累 在开始刷题之前,建议先通过课程书籍理解动态规划的核心思想,包括状态定义、转移方程设计、边界条件处理等内容[^1]。 #### 二、入门级题目练习 从简单的线性DP入手,熟悉基本的状态表示方法和递推关系。 - **P1004 [NOIP2000 提高组] 装箱问题** - 这是一道经典的背包问题变种,适合用来初步接触动态规划中的状态压缩技巧[^4]。 - **P1048 [NOIP2005 提高组] 数字游戏** - 练习如何设定合理的状态变量并构建相应的转移矩阵[^3]。 #### 三、中级难度提升 当具备一定基础之后,尝试解决稍复杂的区间型树形结构下的dp问题。 - **P1976 [USACO06DEC] The Cow Prom G** - 此类涉及环状序列的操作,需考虑特殊情况下循环的影响[^2]。 - **P2015 二叉苹果树** - 属于典型的树上dp范畴,重点在于子节点贡献给父节点的方式。 #### 四、高级综合应用 最后挑战那些融合多种算法思想的大规模复杂场景下的优化版dp实现。 - **P3175 [HAOI2015] 树上染色** - 结合图论知识考察选手灵活运用数据结构的能力。 - **P4774 [NOI2018] 归程** - 多重维度约束条件下最优策略的选择过程展示得淋漓尽致。 ```python def dp_example(n, m): """ A simple example of dynamic programming. :param n: Number of items (e.g., problems to solve). :param m: Total available time or resources. :return: Maximum value achievable within the limit. """ # Initialize DP table with zeros dp = [[0]*(m+1) for _ in range(n+1)] # Example input data simulation; replace this part according actual problem definition weights = [random.randint(1,10) for _ in range(n)] values = [random.randint(1,50) for _ in range(n)] for i in range(1,n+1): for j in range(m,-1,-1): if j >=weights[i-1]: dp[i][j]=max(dp[i-1][j],values[i-1]+dp[i-1][j-weights[i-1]]) else: dp[i][j]=dp[i-1][j] return dp[n][m] ```
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