【题解】「ZJOI2008」树的统计（树链剖分）

题面

【题目描述】
一棵树上有$n$个节点，编号分别为$1$到$n$，每个节点都有一个权值$w$。我们将以下面的形式来要求你对这棵树完成一些操作：
$I.$ $CHANGE$ $u$ $t$ : 把结点$u$的权值改为$t$
$II.$ $QMAX$ $u$ $v$: 询问从点$u$到点$v$的路径上的节点的最大权值
$III.$ $QSUM$ $u$ $v$: 询问从点$u$到点$v$的路径上的节点的权值和 ，注意：从点$u$到点$v$的路径上的节点包括$u$和$v$本身
【输入】
输入的第一行为一个整数$n$，表示节点的个数。
接下来$n–1$行，每行$2$个整数$a$和$b$，表示节点$a$和节点$b$之间有一条边相连。
接下来$n$行，每行一个整数，第$i$行的整数$w_i$表示节点$i$的权值。
接下来$1$行，为一个整数$q$，表示操作的总数。
接下来$q$行，每行一个操作，以“$CHANGE$ $u$ $t$ ”或者“$QMAX$ $u$ $v$”或者“$QSUM$ $u$ $v$”的形式给出。
对于$100％$的数据，保证$1<=n<=30000$，$0<=q<=200000$；中途操作中保证每个节点的权值$w$在$-30000$到$30000$之间。
【输出】
对于每个“$QMAX$”或者“$QSUM$”的操作，每行输出一个整数表示要求输出的结果。
【样例输入】

4
1 2
2 3
4 1
4 2 1 3
12
QMAX 3 4
QMAX 3 3
QMAX 3 2
QMAX 2 3
QSUM 3 4
QSUM 2 1
CHANGE 1 5
QMAX 3 4
CHANGE 3 6
QMAX 3 4
QMAX 2 4
QSUM 3 4

【样例输出】

4
1
2
2
10
6
5
6
5
16

算法分析

树链剖分模板题。

参考程序

#include<bits/stdc++.h>
#define N 200100 
using namespace std;
int head[N],nxt[N],to[N],w[N],tot;
int n,m;
int father[N],deep[N],size[N];//父节点，深度，子树结点数 
int son[N],top[N];//重儿子，所在重路径的顶部结点(深度最小的结点)
int id[N],rev[N],t;//在线段树中的下标(dfs序)，线段树中下标的结点,即rev[id[u]]=u ,dfs序号 
int sum[2*N],Max[2*N]; //线段树 
int ans_sum,ans_max;
void Add(int u,int v)
{
    nxt[++tot]=head[u];
    to[tot]=v;
    head[u]=tot;
}
void dfs1(int u,int dad)
{
    size[u]=1;  //本身结点数为1 
    father[u]=dad;   
    deep[u]=deep[dad]+1;
    for(int i=head[u];i!=-1;i=nxt[i])
    {
        int v=to[i];
        if(v!=dad)
        {
            dfs1(v,u);
            size[u]+=size[v];
            if(size[v]>size[son[u]]) son[u]=v;//找重儿子 
        }
    }
}
void dfs2(int u,int dad)
{
    int v=son[u];
    if(v)  						//优先选择重儿子 
    {
        id[v]=++t;				//dfs序列 
        top[v]=top[u];
        rev[t]=v;
        dfs2(v,u); 
    }
    for(int i=head[u];i!=-1;i=nxt[i])
    {
        v=to[i];
        if(!top[v])
        {
            id[v]=++t;
            top[v]=v;        
            rev[t]=v;
            dfs2(v,u);
        }
    }
}
void built(int k,int l,int r)   //线段树建树
{
    if(l==r)    {Max[k]=sum[k]=w[rev[l]];return;} 	//初始化 
    int mid=(l+r)/2;
    built(2*k,l,mid);
    built(2*k+1,mid+1,r);
    sum[k]=sum[2*k]+sum[2*k+1];
    Max[k]=max(Max[2*k],Max[2*k+1]);
} 
void change(int k,int l,int r,int x,int v)  //单点修改 
{
    if(l>r) return;
    if(l==r&&x==l)  {sum[k]=Max[k]=v;return;}
    int mid=(l+r)/2;
    if(x>=l&&x<=mid) change(2*k,l,mid,x,v);
    if(x>=mid+1&&x<=r) change(2*k+1,mid+1,r,x,v);
    sum[k]=sum[2*k]+sum[2*k+1];
    Max[k]=max(Max[2*k],Max[2*k+1]);
}
void query(int k,int l,int r,int x,int y)
{
    if(x>r||y<l) return ;
    if(x<=l&&r<=y) 
    {
        ans_sum+=sum[k];
        ans_max=max(ans_max,Max[k]);
        return;
    }
    int mid=(l+r)/2;
    if(x<=mid) query(2*k,l,mid,x,y);
    if(y>=mid+1) query(2*k+1,mid+1,r,x,y);
} 
void ask(int u,int v)
{       
    int fu=top[u],fv=top[v];
    while(fu!=fv)   //不在同一条重链上 
    {
        if(deep[fu]<deep[fv]) {swap(u,v);swap(fu,fv);}   //选择深度大的往上跳
        query(1,1,n,id[fu],id[u]);  //访问路径 fu->u 
        u=father[fu];
        fu=top[u]; 
    }
    if(deep[u]>deep[v]) swap(u,v);   //已经跳到同一条重路径上了 
    query(1,1,n,id[u],id[v]);
}
int main()
{
    memset(head,-1,sizeof(head));
    scanf("%d",&n);
    int x,y;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        Add(x,y);
        Add(y,x);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&w[i]);
    scanf("%d",&m);
    dfs1(1,0);
    id[1]=++t;  //初始化根节点 
    top[1]=1;
    rev[1]=1;
    dfs2(1,0); 
    built(1,1,n); 
    char s[10];
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%s%d%d",s,&x,&y);  
        if(s[0]=='C')   change(1,1,n,id[x],y);
        else
        {
            ans_sum=0;
            ans_max=0x80000000;		//int最小值 
            ask(x,y); 				//路径询问 
            if(s[0]=='Q'&&s[1]=='M')    printf("%d\n",ans_max);
            if(s[0]=='Q'&&s[1]=='S')    printf("%d\n",ans_sum);
        }
         
    }
    return 0;
}