【数学】JZOJ_3318 LOJ_2685 「BalticOI 2013」Brunhilda 的生日 Brunhilda’s Birthday

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本文探讨了一种数学算法问题，即给定若干质数和一个正整数，通过不断减去该数对某个质数取余的结果，直至变为0，求解所需的最少操作次数。文章提出了一种动态规划策略，利用队列维护可转移状态，实现高效求解。

题意

给出若干个质数，有 $Q$ 个询问，每次询问这个数减去这个数 $%\%$ 其中一个质数，直到这个数变成 $0$ ，求出最少操作次数。

思路

首先设 $f_i$ 为数 $i$ 的答案，那么可以得出方程：
$f_i=\min \{ f_{i-i\%p_j} \}+1$
时间复杂度为 $O (N M)$ ，直接爆炸。

考虑快速得出 $min \{ f_{i-i\%p_j} \}$ 。先证明 $f$ 是单调不下降的：如果 $f_i<f_{i-1}$ ，那么 $f_{i-1}$ 一定可以通过转移到 $f_i$ 的 $f_x$ 转移而来。所以求出最小的 $min \{ f_{i-i\%p_j} \}$ 就要使得 $min \{ i-i\%p_j \}$ 最小。

如果当前状态 $y$ ，要从 $x$ 转移过来，那么 $x$ 一定是 $p_j$ 的倍数，且 $\leq x+p_j$ ，所以我们能发现， $f_x$ 可以转移到 $fx+1∼fx+pj−1f_{x+1}\sim f_{x+p_j-1}$ ，为了满足转移过来的 $x$ 最小，我们把 $x$ 从小到大按最大的质因子为 $p_j$ 进行转移，使得最小的 $x$ 把可转移的 $y$ 更新。

用队列维护可转移的 $x$ 。

代码

#pragma GCC optimize("Ofast")
#pragma GCC optimize("inline")
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>

const int inf = 1 << 29;
int m, q, maxq;
int p[100001], que[100001], f[10000001], mxp[10000001];
std::queue<int> qq;

int main() {
	scanf("%d %d", &m, &q);
	for (int i = 1; i <= m; i++)
		scanf("%d", &p[i]);
	for (int i = 1; i <= q; i++)
		scanf("%d", &que[i]), maxq = std::max(que[i], maxq);
	for (int i = 1; i <= maxq; i++)
		f[i] = mxp[i] = inf;
	for (int i = 1; i <= m; i++)
		for (int j = p[i]; j <= maxq; j += p[i])
			mxp[j] = p[i];
	f[0] = 0;
	mxp[0] = p[m];
	qq.push(0);
	for (int i = 1; i <= maxq && qq.size();) {
		int x = qq.front();
		qq.pop();
		if (mxp[x] == inf) continue;
		for (; i <= maxq && i < x + mxp[x]; i++)
			f[i] = f[x] + 1, qq.push(i);
	}
	for (int i = 1; i <= q; i++)
		f[que[i]] == inf ? printf("oo\n") : printf("%d\n", f[que[i]]);
}