3318. 【BOI2013】Brunhilda的生日 (Standard IO)

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本文介绍了一个游戏中的策略问题，目标是最少次数地宣读数字，使所有参与游戏的孩子被淘汰。通过动态规划的方法，计算出在给定一系列质数的情况下，对于不同数量的孩子，如何快速结束游戏。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

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Description

除去对铁质盔甲强烈的热爱，Brunhilda是一个正常的7岁女孩。近期，她正在策划一个完美的生日派对。她发明了如下的一个游戏：所有的孩子在一个数k被宣读之前不停地跑来跑去。当这个数字k宣读后，所有的孩子将形成人数恰好为k的若干群体，且保证剩余的孩子数目小于k。最后，这不足k个的孩子将从游戏中被淘汰。紧接着，比赛将继续进行，并公布一个新的数字k。游戏将在所有的孩子都被淘汰后结束。

Brunhilda请她的父亲Wotan在游戏中来宣读数字。Wotan不喜欢这个游戏，当然也不希望在游戏的第一轮就宣布一个正无穷（PS：宣布正无穷等于将所有的孩子都从游戏中淘汰）。 Brunhilda认为这在派对上是相当尴尬的情形，所以她给了她父亲一串共计m个素数的列表。这样，她的父亲便可以从中进行选择。当然，相同的数字在游戏中可以被多次宣读。

Wotan想尽快结束比赛，因为他有一张他最喜欢的足球俱乐部 FC Asgard的比赛门票。不幸的是，Brunhilda不知道派对上参加游戏的孩子数目。现在，对于Q个不同的数n1，...，nQ个儿童，Wotan要预先知道他所需宣读的最少数字，以便他尽早结束游戏。

Input

第一行包含整数m和Q。

第二行包含m个不同的递增素数pi（1≤i≤M），表示Wotan可以宣读的数字。

接下来Q行分别包含一个整数nj（1≤j≤Q），表示可能参加游戏的孩子数目nj。

Output

输出包括Q行。第j行表示对于询问nj所得到的答案，即如果Wotan能结束游戏，请输出他最少所需要宣读的数字个数，否则输出字符串oo（两个小写字母o表示∞）。

Sample Input

Sample Output

3

oo

Data Constraint

20%的数据：m,nj,Q<=10000.

另有20%的数据:Q=1

100%的数据：1<=m,Q<=100 000,1<=nj<=10 000 000,2<=pi<=10 000 000

Source / Author: BOI2013 brunhilda

题解：

考虑DP，设f[i] 为有i个孩子时的最小代价。

f[i] = min(f[i - i%pj] ) + 1;

拿样例来说。

比如说当i = 5 , p = {2,3} 时， f[i] = min(f[3] , f[4]) + 1 = 3 (f[3] = 2 , f[4]=3)

因为当 i 减去了i % pj后，就是pj的倍数了（3是3的倍数， 4是2的倍数），此时相当于pj的倍数多出了一点余数（i%pj），再用pj“筛”多一次即可。

显然f是单调不降的，所以让i - i%pj越小越好。

考虑记录一个ex[i] 表示f[i+1] ~f[ i+ex[i]-1]都是f[i]+1

比如初始化时，ex[0] = 最大的质数，因为 1~最大的质数-1 都是可以一次“筛”掉的。

再比如ex[p[i]] = p[i] , 因为 p[i]+1 ~ p[i]+p[i]-1都可以在用p[i]“筛”了一次后再筛一次搞定。即f[p[i] +1~ p[i]*2-1] = f[p[i]]+1.

那么其他的ex[i]怎么求呢？

设读入的质数表 p[]

首先要知道,当i不是任何p[j]的倍数，则ex[i]=0

所以i一定是某p的倍数，由于要求ex最大，我们预处理出i在p中最小的质因子minp ，然后ex[i] = max(ex[minp] , ex[i/minp])

ex[minp]一定不为0 ，而ex[i/minp]可能为0，但当i / minp也是p的元素，ex[i/minp] 就>= ex[minp]了。

然后我们逐个求f,对于i位置，找到一个 j 时j+ex[j]恰不小于i （为什么让j尽量小之前解释过了）f[i] = f[j+1] ，更新ex[i]

注意：

预处理出i在p中最小的质因子minp，为了方便，可以直接预处理出i的最小的质因子

（如果i是一个p的倍数，i/minp是也是那个p的倍数，或者刚好i的最小质因子就在p[]中）

（如果i不是p的倍数，minp和 i/minp也不是p的倍数，ex[i]=0,这也验证了上文“首先要知道,当i不是任何p[j]的倍数，则ex[i]=0”）

#include<bits/stdc++.h>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define mcy(a,b) memcpy(a,b,sizeof(a))
#define ll long long
#define inf 2147483647
#define N 100010
#define P 10000010
#define open(x) freopen(x".in","r",stdin);freopen(x".out","w",stdout);
#define INF 2147483647
using namespace std;


int m,Q,i,j,t,ans,maxn;
int f[P],minp[P],p[N],pri[P],q[N],ex[P];

void init()
{
	minp[1]=1;
	for(int i=2;i<=maxn;i++)
	{
		if(minp[i]==0)
		{
			pri[++pri[0]] = i;
			minp[i]=i;
		}
		for(int j=1;j<=pri[0];j++)
		{
			int k = i* pri[j];
			if(k > maxn || pri[j] > minp[i]) break;
			minp[k] = pri[j];
		}
	}
	return ;
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&m,&Q);
	for(i=1;i<=m;i++) scanf("%d",&p[i]);
	for(i=1;i<=Q;i++)scanf("%d",&q[i]),maxn = max(maxn , q[i]);

	init(); //minp pri 	
	mem(ex,0);
	ex[0] = p[m];
	for(i=1;i<=m;i++) ex[p[i]] = p[i];
	f[0] = 0;
	j=0;
	maxn++;
	for(i=1;i<maxn;i++)
	{
		while(j + ex[j]   <= i || ex[j]==0)
		{
			++j;
			if(i==j) break;
		}
		if(i==j) 
			{maxn = i; break;}
		f[i] = f[j] + 1;
		ex[i] = max(ex[i/minp[i]] , ex[minp[i]]);
	}
	
	for(i=1;i<=Q;i++)
		if(q[i] >= maxn) printf("oo\n"); else printf("%d\n",f[q[i]]);
	return 0;
}

时间大概几千万的样子，可以过。（用线筛）