【动态规划】JZOJ_1857 最大值

本文探讨了一种算法问题,即给定数组长度、元素范围及更新次数,计算满足条件的不同数组数量。通过动态规划方法,定义状态转移方程并利用前缀和优化,实现了高效求解。

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题意

如果一个包含NNN个元素的数组aaa里面的元素的值是在1...K1...K1...K之间的整数,存在多少个不同的数组aaa,进行取最大值操作,刚好进行了PPP次更新,答案对1e9+7取模。

思路

f[i][j][k]f[i][j][k]f[i][j][k]为前iii个数,最大值为jjj,进行了kkk次更新的方案数。
可得f[i][j][k]=f[i−1][j][k]∗j+f[i−1][1..j−1][k−1]f[i][j][k]=f[i-1][j][k]*j+f[i-1][1..j-1][k-1]f[i][j][k]=f[i1][j][k]j+f[i1][1..j1][k1],分别代表最大值不变或者更新时的转移。
前缀和优化即可。

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>

const int mod = 1e9 + 7;
int t, n, k, p;
long long f[101][301][101], sum[101][301][101];

int main() {
	n = 100;
	k = 300;
	p = 99;
	for (int i = 1; i <= k; i++) {
		f[1][i][0] = 1;
		sum[1][i][0] = i;
	}
	for (int i = 2; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= k; j++) {
			f[i][j][0] = (f[i - 1][j][0] * j) % mod;
			sum[i][j][0] = (f[i][j][0] + sum[i][j - 1][0]) % mod; 
			for (int k = 1; k <= p; k++) {
				f[i][j][k] = (f[i - 1][j][k] * j + sum[i - 1][j - 1][k - 1]) % mod;
				sum[i][j][k] = (f[i][j][k] + sum[i][j - 1][k]) % mod;
			}
		}
	scanf("%d", &t);
	for (int i = 1; i <= t; i++) {
		scanf("%d %d %d", &n, &k, &p);
		printf("%lld\n", sum[n][k][p]);
	}
}
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