【NOIP 数学】JZOJ_3027 计算系数

最新推荐文章于 2024-11-16 14:30:00 发布

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#数学 #杨辉三角 #组合数

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本文介绍了一种解决特定数学问题的方法，即求解多项式(ax+by)^k展开后xnym项的系数，并通过杨辉三角进行组合数计算。使用快速幂算法加速计算过程。

题意

给出 $a ， b ， k ， n ， m ，$ 求出 $ax + by)^k$ ，请求出多项式展开后 $x^ny^m$ 项的系数 $%10007\%10007$ 。

思路

可以手算推几个发现：每个系数按指数 $n$ 递减再递增就可以发现是杨辉三角的某一层，然后可以用杨辉三角求组合数。 $a$ 和 $b$ 两个数的指数就为 $n$ 和 $m$ ，用快速幂算一下，乘到答案里去。

代码

#include<cstdio>

int a, b, k, n, m;
int f[3002][3002];

long long power(int a, int b) {
	long long result = 1;
	a %= 10007;
	for (; b; b >>= 1) {
		if (b & 1) result = (result * a) % 10007;
		a = (a * a) % 10007;
	}
	return result;
}

int main() {
	scanf("%d %d %d %d %d", &a, &b, &k, &n, &m);
	for (int i = 1; i <= k + 1; i++) {
		f[i][1] = f[i][i] = 1;
		for (int j = 2; j < i; j++)
			f[i][j] = (f[i - 1][j] + f[i - 1][j - 1]) % 10007;
	}
	printf("%d", f[k + 1][k - n + 1] * power(a, n) * power(b, m) % 10007);
}