简 单 通 路 : 边 不 重 复 初 级 通 路 : 点 不 重 复 简单通路:边不重复\\初级通路:点不重复 简单通路:边不重复初级通路:点不重复
图 | 类型 | 描述 |
---|---|---|
无向图 | 连通图 | 任意两点联通,处于一个等价类 |
有向图 | 弱连通图(也称为联通图) | 略去方向为连通图 |
有向图 | 单项连通图 | 任意两点,至少有一个可达另一个 |
有向图 | 强连通图 | 不去方向任意两点可达 |
连通图:没有孤立点,任意两个定点间有至少一条通路
判定:G=(V,E)是(p,q)图
1.充分条件(条件有点太强了):
∀
u
,
v
∈
V
,
d
e
g
(
u
)
+
d
e
g
(
v
)
≥
p
−
1
\forall u,v \in V,deg(u)+deg(v) \geq p-1
∀u,v∈V,deg(u)+deg(v)≥p−1
证
明
1
:
反
证
,
假
设
不
联
通
,
则
G
至
少
有
两
个
支
G
1
=
(
V
1
,
E
1
)
,
剩
下
的
记
为
G
2
=
(
V
2
,
E
2
)
设
∣
V
1
∣
=
n
,
则
∣
V
2
∣
=
p
−
n
,
所
在
分
支
最
多
能
连
的
边
的
个
数
:
d
e
g
(
v
1
)
≤
n
−
1
,
d
e
g
(
v
2
)
≤
p
−
n
−
1
d
e
g
(
v
1
)
+
d
e
g
(
v
2
)
≤
p
−
2
矛
盾
证明1:反证,假设不联通,则G至少有两个支G_1=(V_1,E_1),剩下的记为G_2=(V_2,E_2)\\ 设|V_1|=n,则|V_2|=p-n,\\ 所在分支最多能连的边的个数:deg(v_1) \leq n-1,deg(v_2) \leq p-n-1\\ deg(v_1)+deg(v_2) \leq p-2 \\ 矛盾
证明1:反证,假设不联通,则G至少有两个支G1=(V1,E1),剩下的记为G2=(V2,E2)设∣V1∣=n,则∣V2∣=p−n,所在分支最多能连的边的个数:deg(v1)≤n−1,deg(v2)≤p−n−1deg(v1)+deg(v2)≤p−2矛盾
证
明
2
:
演
绎
:
证明2:演绎:
证明2:演绎:
如
果
上
式
成
立
,
则
∃
w
∈
V
,
s
.
t
.
u
w
∈
E
,
v
w
∈
E
如果上式成立,则 \exists w\in V,s.t. uw \in E,vw \in E
如果上式成立,则∃w∈V,s.t.uw∈E,vw∈E
假
设
不
存
在
w
,
设
d
e
g
(
u
)
=
k
,
d
e
g
(
v
)
≤
p
−
2
−
k
,
则
d
e
g
(
u
)
+
d
e
g
(
v
)
≤
p
−
2
,
矛
盾
假设不存在w,设deg(u)=k,deg(v)\leq p-2-k,则deg(u)+deg(v)\leq p-2,矛盾
假设不存在w,设deg(u)=k,deg(v)≤p−2−k,则deg(u)+deg(v)≤p−2,矛盾
推
论
:
如
果
∀
v
∈
V
,
d
e
g
(
v
)
≥
⌈
p
2
⌉
,
则
图
联
通
推论:如果\forall v \in V,deg (v) \geq\lceil \frac{p}{2} \rceil,则图联通
推论:如果∀v∈V,deg(v)≥⌈2p⌉,则图联通
2.数据结构中的并查集也能判断图的连通性
判定图是否有环路
δ(G)
G
=
(
V
,
E
)
,
d
e
g
(
v
)
>
0
,
G
中
每
个
顶
点
的
度
数
为
偶
数
,
则
G
中
有
环
G=(V,E),deg(v)>0,G中每个顶点的度数为偶数,则G中有环
G=(V,E),deg(v)>0,G中每个顶点的度数为偶数,则G中有环
证
明
:
最
长
路
法
,
设
最
长
路
为
v
1
,
v
2
,
…
…
,
v
n
,
并
且
∃
v
i
,
s
.
t
.
v
1
,
v
i
∈
E
(
3
≥
i
≤
n
)
证明:最长路法,设最长路为v_1,v_2,……,v_n,并且\exists v_i,s.t. v_1,v_i\in E(3\geq i \leq n)
证明:最长路法,设最长路为v1,v2,……,vn,并且∃vi,s.t.v1,vi∈E(3≥i≤n)
则
v
1
,
v
2
…
…
,
v
i
,
v
1
为
环
则 v_1,v_2……,v_i,v_1为环
则v1,v2……,vi,v1为环
正则图和完全图
正则
正则:regular,有规律的,有规则的。
正则图是指各顶点的度均相同的无向简单图
在图论中,正则图中每个顶点具有相同数量的邻点; 即每个顶点具有相同的度。 正则的有向图也必须满足更多的条件,即每个顶点的内外自由度都要彼此相等。具有k个自由度的顶点的正则图被称为k度的k-正则图。 此外,奇数程度的正则图形将包含偶数个顶点。
G = ( V , E ) , i f v ∈ V , d e g ( v ) = r , 则 称 G 为 r − 正 则 图 G=(V,E),if v\in V,deg(v)=r,则称G为r-正则图 G=(V,E),ifv∈V,deg(v)=r,则称G为r−正则图
假 设 G 是 一 个 ( p , q ) 图 ( 即 G 是 一 个 具 有 p 个 顶 点 q 条 边 的 图 。 ) , 则 ( p − 1 ) 正 则 图 称 为 完 全 图 , 记 为 K p 假设G是一个(p,q)图(即 G 是一个具有 p 个顶点 q 条 边的图。 ),\\ 则(p-1)正则图称为完全图,记为K_p 假设G是一个(p,q)图(即G是一个具有p个顶点q条边的图。),则(p−1)正则图称为完全图,记为Kp
结 婚 问 题 中 的 双 图 , 完 全 图 则 记 为 K m , n 结婚问题中的双图,完全图则记为K_{m,n} 结婚问题中的双图,完全图则记为Km,n