连通图，判定图是否有环,正则图和完全图的定义

$$\begin{gathered} 简单通路：边不重复 \\ 初级通路：点不重复 \end{gathered}$$

图	类型	描述
无向图	连通图	任意两点联通，处于一个等价类
有向图	弱连通图(也称为联通图)	略去方向为连通图
有向图	单项连通图	任意两点，至少有一个可达另一个
有向图	强连通图	不去方向任意两点可达

连通图：没有孤立点，任意两个定点间有至少一条通路

判定：G=（V,E）是（p，q）图
1.充分条件(条件有点太强了):
$$\forall u,v\in V,deg(u)+deg(v)\ge p-1$$
$$\begin{gathered} 证明1：反证，假设不联通，则G至少有两个支G_1=(V_1,E_1),剩下的记为G_2=(V_2,E_2) \\ 设|V_1|=n,则|V_2|=p-n, \\ 所在分支最多能连的边的个数：deg(v_1)\le n-1,deg(v_2)\le p-n-1 \\ deg(v_1)+deg(v_2)\le p-2 \\ 矛盾 \end{gathered}$$
$$证明2：演绎：$$

$如果上式成立，则\exists w\in V,s.t.uw\in E,vw\in E$
$假设不存在w,设deg(u)=k，deg(v)\le p-2-k,则deg(u)+deg(v)\le p-2,矛盾$
$推论：如果\forall v\in V,deg(v)\ge \lceil \frac{p}{2}\rceil ，则图联通$
2.数据结构中的并查集也能判断图的连通性

判定图是否有环路

δ(G)
$G=（V,E），deg(v)>0,G中每个顶点的度数为偶数，则G中有环$
$证明：最长路法，设最长路为v_1,v_2,\dots \dots ，v_n，并且\exists v_i,s.t.v_1,v_i\in E(3\ge i\le n)$
$则v_1,v_2\dots \dots ，v_i,v_1为环$

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正则图和完全图

正则

正则：regular，有规律的，有规则的。

正则图是指各顶点的度均相同的无向简单图

在图论中，正则图中每个顶点具有相同数量的邻点； 即每个顶点具有相同的度。 正则的有向图也必须满足更多的条件，即每个顶点的内外自由度都要彼此相等。具有k个自由度的顶点的正则图被称为k度的k-正则图。 此外，奇数程度的正则图形将包含偶数个顶点。

$$G=(V,E),ifv\in V,deg(v)=r,则称G为r-正则图$$

$$\begin{gathered} 假设G是一个（p,q）图(即G是一个具有p个顶点q条边的图。), \\ 则(p-1)正则图称为完全图，记为K_p \end{gathered}$$

$$结婚问题中的双图，完全图则记为K_{m,n}$$