连通图,判定图是否有环,正则图和完全图的定义

本文探讨了图的连通性,包括无向图、有向图的各种连通概念,如连通图、弱连通图、单项连通图和强连通图。阐述了判断图是否连通的充分条件及其证明,并介绍了正则图的定义,特别是完全图的概念。同时,提到了利用边的度数判断图中是否存在环路的方法。此外,还提及了结婚问题中的双图与完全图的关系。

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简 单 通 路 : 边 不 重 复 初 级 通 路 : 点 不 重 复 简单通路:边不重复\\初级通路:点不重复

类型描述
无向图连通图任意两点联通,处于一个等价类
有向图弱连通图(也称为联通图)略去方向为连通图
有向图单项连通图任意两点,至少有一个可达另一个
有向图强连通图不去方向任意两点可达

连通图:没有孤立点,任意两个定点间有至少一条通路

判定:G=(V,E)是(p,q)图
1.充分条件(条件有点太强了):
∀ u , v ∈ V , d e g ( u ) + d e g ( v ) ≥ p − 1 \forall u,v \in V,deg(u)+deg(v) \geq p-1 u,vV,deg(u)+deg(v)p1
证 明 1 : 反 证 , 假 设 不 联 通 , 则 G 至 少 有 两 个 支 G 1 = ( V 1 , E 1 ) , 剩 下 的 记 为 G 2 = ( V 2 , E 2 ) 设 ∣ V 1 ∣ = n , 则 ∣ V 2 ∣ = p − n , 所 在 分 支 最 多 能 连 的 边 的 个 数 : d e g ( v 1 ) ≤ n − 1 , d e g ( v 2 ) ≤ p − n − 1 d e g ( v 1 ) + d e g ( v 2 ) ≤ p − 2 矛 盾 证明1:反证,假设不联通,则G至少有两个支G_1=(V_1,E_1),剩下的记为G_2=(V_2,E_2)\\ 设|V_1|=n,则|V_2|=p-n,\\ 所在分支最多能连的边的个数:deg(v_1) \leq n-1,deg(v_2) \leq p-n-1\\ deg(v_1)+deg(v_2) \leq p-2 \\ 矛盾 1GG1=(V1,E1),G2=(V2,E2)V1=n,V2=pn,deg(v1)n1,deg(v2)pn1deg(v1)+deg(v2)p2
证 明 2 : 演 绎 : 证明2:演绎: 2
在这里插入图片描述
如 果 上 式 成 立 , 则 ∃ w ∈ V , s . t . u w ∈ E , v w ∈ E 如果上式成立,则 \exists w\in V,s.t. uw \in E,vw \in E wV,s.t.uwE,vwE
假 设 不 存 在 w , 设 d e g ( u ) = k , d e g ( v ) ≤ p − 2 − k , 则 d e g ( u ) + d e g ( v ) ≤ p − 2 , 矛 盾 假设不存在w,设deg(u)=k,deg(v)\leq p-2-k,则deg(u)+deg(v)\leq p-2,矛盾 w,deg(u)=kdeg(v)p2k,deg(u)+deg(v)p2,
推 论 : 如 果 ∀ v ∈ V , d e g ( v ) ≥ ⌈ p 2 ⌉ , 则 图 联 通 推论:如果\forall v \in V,deg (v) \geq\lceil \frac{p}{2} \rceil,则图联通 vV,deg(v)2p
2.数据结构中的并查集也能判断图的连通性

判定图是否有环路

δ(G)
G = ( V , E ) , d e g ( v ) > 0 , G 中 每 个 顶 点 的 度 数 为 偶 数 , 则 G 中 有 环 G=(V,E),deg(v)>0,G中每个顶点的度数为偶数,则G中有环 G=V,Edeg(v)>0,GG
证 明 : 最 长 路 法 , 设 最 长 路 为 v 1 , v 2 , … … , v n , 并 且 ∃ v i , s . t . v 1 , v i ∈ E ( 3 ≥ i ≤ n ) 证明:最长路法,设最长路为v_1,v_2,……,v_n,并且\exists v_i,s.t. v_1,v_i\in E(3\geq i \leq n) v1,v2,vnvi,s.t.v1,viE(3in)
则 v 1 , v 2 … … , v i , v 1 为 环 则 v_1,v_2……,v_i,v_1为环 v1,v2vi,v1


正则图和完全图

正则

正则:regular,有规律的,有规则的。

正则图是指各顶点的度均相同的无向简单图

在图论中,正则图中每个顶点具有相同数量的邻点; 即每个顶点具有相同的。 正则的有向图也必须满足更多的条件,即每个顶点的内外自由度都要彼此相等。具有k个自由度的顶点的正则图被称为k度的k-正则图。 此外,奇数程度的正则图形将包含偶数个顶点。

G = ( V , E ) , i f v ∈ V , d e g ( v ) = r , 则 称 G 为 r − 正 则 图 G=(V,E),if v\in V,deg(v)=r,则称G为r-正则图 G=(V,E),ifvV,deg(v)=r,Gr

假 设 G 是 一 个 ( p , q ) 图 ( 即 G 是 一 个 具 有 p 个 顶 点 q 条 边 的 图 。 ) , 则 ( p − 1 ) 正 则 图 称 为 完 全 图 , 记 为 K p 假设G是一个(p,q)图(即 G 是一个具有 p 个顶点 q 条 边的图。 ),\\ 则(p-1)正则图称为完全图,记为K_p Gp,q(Gpq),(p1)Kp

结 婚 问 题 中 的 双 图 , 完 全 图 则 记 为 K m , n 结婚问题中的双图,完全图则记为K_{m,n} Km,n

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