欧拉图
欧
拉
图
:
格
尼
斯
堡
问
题
⇒
能
一
笔
画
的
图
,
闭
迹
(
边
不
重
复
,
点
可
以
)
欧拉图:格尼斯堡问题\Rightarrow 能一笔画的图,闭迹(边不重复,点可以)
欧拉图:格尼斯堡问题⇒能一笔画的图,闭迹(边不重复,点可以)
定理一 充要条件(欧拉定理):连通+所有顶点的度是偶数
有向连通图 D 是欧拉图,当且仅当该图为连通图且 D 中每个结点的入度=出度;
证
明
:
连
通
+
所
有
顶
点
的
度
是
偶
数
⇒
有
环
C
\footnotesize 证明:连通+所有顶点的度是偶数 \Rightarrow \href{https://blog.youkuaiyun.com/ResumeProject/article/details/113742280}{有环 C }
证明:连通+所有顶点的度是偶数⇒有环C
如
果
C
不
能
包
含
所
有
定
点
,
则
从
图
中
去
掉
C
部
分
,
顶
点
个
的
度
还
是
偶
数
,
则
有
新
的
环
称
其
为
C
2
,
如
此
归
纳
至
C
n
\footnotesize 如果C不能包含所有定点,则从图中去掉C部分,顶点个的度还是偶数,则有新的环称其为C_2,如此归纳至Cn
如果C不能包含所有定点,则从图中去掉C部分,顶点个的度还是偶数,则有新的环称其为C2,如此归纳至Cn
所
以
满
足
以
上
条
件
的
图
是
有
限
个
相
交
的
环
的
集
合
,
所
以
可
以
一
笔
画
\footnotesize 所以满足以上条件的图是有限个相交的环的集合,所以可以一笔画
所以满足以上条件的图是有限个相交的环的集合,所以可以一笔画
定理一推论: 图 中 有 一 条 开 迹 , 图 中 只 有 两 个 奇 度 的 定 点 图中有一条开迹,图中只有两个奇度的定点 图中有一条开迹,图中只有两个奇度的定点
定理二:
图
中
有
n
条
开
迹
,
图
中
只
有
2
n
个
奇
度
的
定
点
,
图中有n条开迹,图中只有2n个奇度的定点,
图中有n条开迹,图中只有2n个奇度的定点,
由
此
写
一
个
王
字
最
少
需
要
四
笔
,
奇
度
顶
点
个
数
除
以
2
由此写一个王字最少需要四笔,奇度顶点个数除以2
由此写一个王字最少需要四笔,奇度顶点个数除以2
哈密顿图
哈
密
顿
图
:
环
游
世
界
再
回
到
起
点
问
题
⇒
(
点
不
重
复
,
边
可
以
)
哈密顿图:环游世界再回到起点问题\Rightarrow(点不重复,边可以)
哈密顿图:环游世界再回到起点问题⇒(点不重复,边可以)
判断的充要条件还是个世界难题
思
考
:
如
何
将
一
个
哈
密
顿
图
变
成
非
H
思考:如何将一个哈密顿图变成非H
思考:如何将一个哈密顿图变成非H
必
要
条
件
:
G
=
(
V
,
E
)
,
S
⊂
V
,
分
支
数
W
(
G
−
S
)
≤
∣
S
∣
,
(
也
就
是
去
点
的
点
数
多
于
分
支
数
)
必要条件:G=(V,E),S\subset V,分支数W(G-S)\leq|S|,(也就是去点的点数多于分支数)
必要条件:G=(V,E),S⊂V,分支数W(G−S)≤∣S∣,(也就是去点的点数多于分支数)
充
分
条
件
1
:
G
是
(
p
,
q
)
图
,
任
意
顶
点
的
度
≥
p
2
充分条件1:G是(p,q)图,任意顶点的度\geq \frac{p}{2}
充分条件1:G是(p,q)图,任意顶点的度≥2p
证
明
其
逆
否
命
题
,
假
设
G
非
H
,
肯
定
不
是
(
p
−
1
)
正
则
图
K
p
,
可
以
加
边
∃
u
.
v
不
邻
接
,
向
G
中
加
入
(
u
,
v
)
,
如
此
寻
找
不
邻
接
的
点
,
直
至
G
变
为
H
,
设
去
掉
最
后
加
入
的
一
条
变
后
图
为
G
‘
,
G
′
中
有
H
路
(
不
一
定
是
H
回
路
)
v
1
,
v
2
,
v
3
…
…
v
p
,
其
中
v
1
,
1
,
v
1
,
2
…
…
,
v
1
,
k
与
v
1
连
接
由
此
在
通
路
上
的
与
v
1
相
邻
的
前
一
个
顶
点
一
定
不
与
v
p
相
连
(
否
则
会
形
成
H
回
路
)
d
e
g
(
v
1
)
=
k
,
d
e
g
(
v
p
)
≤
p
−
k
−
1
,
d
e
g
(
v
1
)
+
d
e
g
(
v
p
)
≤
p
−
1
,
则
有
一
个
小
于
p
2
\footnotesize 证明其逆否命题,假设G非H,肯定不是(p-1)正则图K_p,可以加边\\ \exists u.v不邻接,向G中加入(u,v),如此寻找不邻接的点,直至G变为H,设去掉最后加入的一条变后图为G‘,\\ G'中有H路(不一定是H回路)v_1,v_2,v_3……v_p,其中v_{1,1},v_{1,2}……,v_{1,k}与v_1连接\\ 由此在通路上的与v_1相邻的前一个顶点一定不与v_p相连(否则会形成H回路)\\ deg(v_1)=k,deg(v_p)\leq p-k-1,deg(v_1)+deg(v_p)\leq p-1,则有一个小于\frac{p}{2}
证明其逆否命题,假设G非H,肯定不是(p−1)正则图Kp,可以加边∃u.v不邻接,向G中加入(u,v),如此寻找不邻接的点,直至G变为H,设去掉最后加入的一条变后图为G‘,G′中有H路(不一定是H回路)v1,v2,v3……vp,其中v1,1,v1,2……,v1,k与v1连接由此在通路上的与v1相邻的前一个顶点一定不与vp相连(否则会形成H回路)deg(v1)=k,deg(vp)≤p−k−1,deg(v1)+deg(vp)≤p−1,则有一个小于2p
充 分 条 件 1 推 论 1 : 对 于 顶 点 个 数 大 于 2 的 图 , 如 果 图 中 任 意 两 点 度 的 和 大 于 或 等 于 顶 点 总 数 p , 那 这 个 图 一 定 是 哈 密 顿 图 。 充分条件1推论1:对于顶点个数大于2的图,如果图中任意两点度的和大于或等于顶点总数p,\\那这个图一定是哈密顿图。 充分条件1推论1:对于顶点个数大于2的图,如果图中任意两点度的和大于或等于顶点总数p,那这个图一定是哈密顿图。
中国邮递员问题:
邮 局 出 发 , 走 完 每 条 路 , 回 到 邮 局 , 要 走 的 总 长 度 = ? 可 转 化 问 将 原 图 补 充 为 欧 拉 图 邮局出发,走完每条路,回到邮局,要走的总长度=?\\ 可转化问将原图补充为欧拉图 邮局出发,走完每条路,回到邮局,要走的总长度=?可转化问将原图补充为欧拉图
TSP(货郎担问题,旅行推销员问题(英语:Travelling salesman problem, TSP))
求 解 访 问 每 点 一 次 并 回 到 起 始 城 市 的 最 短 回 路 该 问 题 实 质 是 在 一 个 带 权 完 全 无 向 图 中 , 找 一 个 权 值 最 小 的 H a m i l t o n 回 路 。 求解访问每点一次并回到起始城市的最短回路\\ 该问题实质是在一个带权完全无向图中,找一个权值最小的Hamilton回路。 求解访问每点一次并回到起始城市的最短回路该问题实质是在一个带权完全无向图中,找一个权值最小的Hamilton回路。