[-π,π]上的标准正交基:
1(cos(0x)),cosx,sinx,cos2x,sin2x,……1(cos(0x)),cosx,sinx,cos2x,sin2x,……1(cos(0x)),cosx,sinx,cos2x,sin2x,……
关于傅里叶级数的几个问题:
- f(x)的展开式的形式问题:
因为要展开成三角函数或者谐波的叠加所以f(x)=a02+∑n=1+∞(ancos(nx)+bnsin(nx))其中b0=0写成a02,则ak=∫−ππf(x)cos(nx)可统一表示由eix=cosx+isinx可将展开推广到复数域因为要展开成三角函数或者谐波的叠加 所以\\ f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{ +\infty}(a_ncos(nx)+b_nsin(nx))其中b_0=0\\ 写成\frac{a_0}{2},则a_k=\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cos(nx)可统一表示 \\ 由e^{ix}=cosx+isinx\\ 可将展开推广到复数域 因为要展开成三角函数或者谐波的叠加所以f(x)=2a0+n=1∑+∞(ancos(nx)+bnsin(nx))其中b0=0写成2a0,则ak=∫−ππf(x)cos(nx)可统一表示由eix=cosx+isinx可将展开推广到复数域
2.一个周期的定积分
函数空间等内容是实变函数与泛函分析中的内容泛函是把函数映成数值,所以是定积分,而不是不定积分并且对应的展开函数是周期函数,周期为2π或2l函数空间等内容是实变函数与泛函分析中的内容\\泛函是把函数映成数值,所以是定积分,而不是不定积分 \\ 并且对应的展开函数是周期函数 ,周期为2 \pi 或 2l函数空间等内容是实变函数与泛函分析中的内容泛函是把函数映成数值,所以是定积分,而不是不定积分并且对应的展开函数是周期函数,周期为2π或2l
因为正交基需要自己∗自己=1,由华理式公式∫−ππsin2(nx)=π(华理式公式:2偶数(4个π2)4∗12∗π2) 因为正交基需要自己*自己=1,由华理式公式 \\ \int_{-\pi }^{\pi}sin^2(nx)=\pi \\ (华理式公式:2 偶数 (4个\frac{\pi}{2})4*\frac{1}{2}*\frac{\pi}{2})因为正交基需要自己∗自己=1,由华理式公式∫−ππsin2(nx)=π(华理式公式:2偶数(4个2π)4∗21∗2π)
π和l的转换,让sinx的周期也变成2l,对三角函数进行操作,所以乘以πl再加上dx里的πl\pi 和l的转换,让sinx的周期也变成2l,\\ 对三角函数进行操作,所以乘以 \frac{\pi}{l}再加上dx里的 \frac{\pi}{l}π和l的转换,让sinx的周期也变成2l,对三角函数进行操作,所以乘以lπ再加上dx里的lπ
系数=1π∫−ππf(x)三角函数dx→系数=1π∫−llf(πlx)三角函数πldt 系数= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) 三角函数 dx \rightarrow 系数= \frac{1}{\pi} \int_{-l}^{l} f(\frac{\pi}{l}x) 三角函数 \frac{\pi}{l}dt系数=π1∫−ππf(x)三角函数dx→系数=π1∫−llf(lπx)三角函数lπdt
- 注意由利普西茨判别法知:
limn→∞Sn(x)=12[f(x+0)+f(x−0)] \lim_{n \rightarrow \infty } S_n(x)=\frac{1}{2}[f(x+0)+f(x-0)]n→∞limSn(x)=21[f(x+0)+f(x−0)]