矩阵对角化与实对称矩阵性质-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/ResumeProject/article/details/108227387

本文探讨了矩阵能否相似对角化的条件，特别是实对称矩阵的特性。解析了实对称矩阵一定可以相似对角化的原因，并通过实例讲解如何计算特征值与特征向量，同时分析了矩阵的秩与其非零特征值的关系。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

注：题目原图上的有关注解很有可能是错误的，不要被误导

1.下列不能相似对角化的有
$\left(\begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 2 } & { 2} \\ \end{array}\right)$
$\left(\begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { -1 } & { -1} \\ \end{array}\right)$
$\left(\begin{array} { l l } { 2 } & { -1 } & { 2 } \\ { 5 } & { -3 } & { 3 } \\ { -1 } & { 0 } & { 2 } \\ \end{array}\right)$
$\left(\begin{array} { l l } { 1 } & { 0} & { 0 } \\ { 1 } & { 2 } & {2 } \\ { 1 } & { 1 } & { 3 } \\ \end{array}\right)$
1.0 实对称矩阵一定能够相似对角化
1.1
如果没有零特征值，相似矩阵一定是满秩的，因为相似的秩相等。（本来就是同一个线性变换）

1.2矩阵变换的直观看法（基变换的观点）：
$R^2 \rightarrow R^3\\ (1,0) (0,1) \\\rightarrow （1，0，0）（0，1，0）（0，0，1）\\ \left ( \begin{array} { l l } { 1 } & { 2 } \\ { 3 } & { 4} \\ { 5 } & {6 } \\ \end{array}\right)$

1.3
计算特征向量（要n个不同的特征向量，原因转1.1）
1.4
计算特征值
要先写出特征矩阵，然后求其行列式，然后求根
当特征值有代数重数时，还可以计算几何重数（n-rank(A-XI)）,代数重数应和几何重数相等
2.设A是三阶实对称矩阵，A^2=A且r(A)=2,则|A+2E|=
由(A^2-A)X= (λ^2- λ) X=0 λ=0/1
实对称矩阵一定能够相似对角化，r(A)=2
三阶实对称矩阵的秩数等于非零特征值的个数
,则λ1=0，λ2=λ3=1，|A+2E|=233=18

在这里插入图片描述
3.