18、热方程数值解与交通流模型分析

热方程数值解与交通流模型分析

1. 热方程数值解基础

热方程的数值解是将连续的热传导过程离散化处理。在时间步 $n$ 时，某位置的温度是当前时间步该位置及其相邻位置温度的加权平均。可以理解为，在 $\Delta t$ 时间内，长度为 $\Delta x$ 的导线段会向相邻段传递部分热量 $s$，并保留剩余热量 $1 - 2s$。

1.1 一维热方程的 MATLAB 实现

下面是名为 heat.m 的 M 文件，用于迭代求解一维热方程：

function u = heat(k, x, t, init, bdry)
% solve the 1D heat equation on the rectangle described by
% vectors x and t with u(x, t(1)) = init and Dirichlet
% boundary conditions
% u(x(1), t) = bdry(1), u(x(end), t) = bdry(2).
J = length(x);
N = length(t);
dx = mean(diff(x));
dt = mean(diff(t));
s = k*dt/dx^2;
u = zeros(N,J);
u(1, :) = init;
for n = 1:N-1
    u(n+1, 2:J-1) = s*(u(n, 3:J) + u(n, 1:J-2)) + ...
        (1 - 2*s)*u(n, 2:J-1);
    u(n+1, 1) = bdry(1);
    u(n+1,