生成树 - 最小生成树

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本文深入探讨了一个特定的图论问题，即在给定的二分图上构造m+1层图并求其最小生成树。通过分析边的贡献度，即减少联通块的数量，提出了一种有效算法，特别适用于边权重在1到30之间的大型图谱（n,m≤10^5）。代码示例清晰地展示了如何通过迭代加入边权小于等于i的边来解决这一问题。

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题目大意：
给你个二分图 $G (V = (X, Y), E)$ 。
定义 $G^m$ 是一个 $m + 1$ 层图，每相邻两层的诱导子图都和 $G$ 同构。对 $G1…GmG^1\dots G^m$ 求最小生成树。 $∀e∈E,1≤w(e)≤30,n,m≤105,∣E∣≤2×105\forall e\in E,1\le\mathrm{w}(e)\le30,n,m\le10^5,|E|\le2\times10^5$ 。
题解：考虑每条边的贡献，即为使得联通块减少的数量；考虑对每个 $i∈[0,30)i\in[0,30)$ 求只加入边权 $≤i\le i$ 的边，还要联通多少联通块，那么边权在 $(i, 30]$ 的边贡献次数++，这样边权为 $w$ 的边贡献了 $w$ 次。
问题转化为，加入一些边，有效的连接（使得联通块数量减少）是多少。
这部分参考一下代码就很清楚了，略过。

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define Rep(i,v) rep(i,0,(int)v.size()-1)
#define lint long long
#define ull unsigned lint
#define db long double
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fir first
#define sec second
#define debug(x) cerr<<#x<<"="<<x
#define sp <<" "
#define ln <<endl
using namespace std;
typedef pair<int,int> pii;
typedef set<int>::iterator sit;
namespace INPUT_SPACE{
    const int BS=(1<<24)+5;char Buffer[BS],*HD,*TL;
    char gc() { if(HD==TL) TL=(HD=Buffer)+fread(Buffer,1,BS,stdin);return (HD==TL)?EOF:*HD++; }
    inline int inn()
    {
        int x,ch;while((ch=gc())<'0'||ch>'9');
        x=ch^'0';while((ch=gc())>='0'&&ch<='9')
            x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0');return x;
    }
}using INPUT_SPACE::inn;
namespace OUTPUT_SPACE{
    char ss[3000000],tt[30];int ssl,ttl;
    inline int print(lint x)
    {
        if(!x) ss[++ssl]='0';
        for(ttl=0;x;x/=10) tt[++ttl]=char(x%10+'0');
        for(;ttl;ttl--) ss[++ssl]=tt[ttl];return ss[++ssl]='\n';
    }
    inline int Flush() { return fwrite(ss+1,sizeof(char),ssl,stdout),ssl=0,0; }
}using OUTPUT_SPACE::print;using OUTPUT_SPACE::Flush;
const int N=100010,M=N,MXW=35;
int fa[N<<1];vector<pii> A,B,es[MXW];lint ans[M],cnt[M];
int findf(int x) { return x==fa[x]?x:fa[x]=findf(fa[x]); }
inline int solve(int n,int m,int w)
{
    memset(cnt,0,sizeof(lint)*(m+1));
    rep(i,1,n*2) fa[i]=i;
    rep(i,1,w) Rep(j,es[i])
    {
        int x=findf(es[i][j].fir),y=findf(es[i][j].sec);
        if(x==y) continue;if(x>y) swap(x,y);fa[x]=y,cnt[1]++;
        if(x>n&&y>n) A.pb(mp(x-n,y-n));
    }
    rep(i,2,m&&A.size())
    {
        B.clear();
        Rep(j,A)
        {
            int x=findf(A[j].fir),y=findf(A[j].sec);
            if(x==y) { cnt[i]--;continue; }
            if(x>y) swap(x,y);fa[x]=y;
            if(x>n&&y>n) B.pb(mp(x-n,y-n));
        }
        A.swap(B);
    }
    rep(i,2,m) cnt[i]+=cnt[i-1];
    rep(i,2,m) cnt[i]+=cnt[i-1];
    rep(i,1,m) ans[i]+=n*(i+1ll)-cnt[i]-1;
    return 0;
}
int main()
{
    int n=inn(),m=inn(),ec=inn(),x,y;
    rep(i,1,ec) x=inn(),y=inn()+n,es[inn()].pb(mp(x,y));
    rep(i,0,30) solve(n,m,i);
    rep(i,1,m) print(ans[i]);
    return Flush(),0;
}