作业 - 结论题

题目大意：
已知：$f_0=1-\frac{1}{e},f_n=1-n{f}_{n-1}$
求$f_n,n\le 10^4$精度要求$10^{-4}$。
题解：
注意到$f_n$可以写成$a_n-b_n{e}^{-1}$的形式，$a_0=1,b_0=1$。
经过一些推导化简可以显然得知：
$$\begin{gathered} b_n=(-n)b_{n-1}=(-1{)}^{n}n! \\ {a}_n=\sum _{i=0}^n\frac{n!}{(n-i)!}(-1{)}^i=n!(-1{)}^n\sum _{i=0}^n\frac{(-1{)}^i}{i!} \end{gathered}$$
显然$${\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{t}}_{n\to +\inf }\sum _{i=0}^n\frac{(-1{)}^i}{i!}=e^{-1}$$
即$${\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{t}}_{n\to +\inf }{f}_n=n!(-1{)}^n{e}^{-1}-n!(-1{)}^n{e}^{-1}=0$$
（顺带由刚刚的推导可以看出误差大约在$O\left(\frac{1}{n}\right)$左右的样子）
因此设$f_N=0$，并取$N\ge 10^5$，然后反着推回来即可。

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define Rep(i,v) rep(i,0,(int)v.size()-1)
#define lint long long
#define ull unsigned lint
#define db long double
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fir first
#define sec second
#define gc getchar()
#define debug(x) cerr<<#x<<"="<<x
#define sp <<" "
#define ln <<endl
using namespace std;
typedef pair<int,int> pii;
typedef set<int>::iterator sit;
inline int inn()
{
    int x,ch;while((ch=gc)<'0'||ch>'9');
    x=ch^'0';while((ch=gc)>='0'&&ch<='9')
        x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0');return x;
}
const int N=500010;
db f[N];
int main()
{
    int n=inn();f[N-1]=0;
    for(int i=N-2;i>=0;i--)
        f[i]=(1-f[i+1])/(i+1);
    printf("%.4f\n",double(f[n]));
    return 0;
}