函数极限的性质与定理：数列极限的拓展应用-优快云博客

本文概述了函数极限的基本概念，包括定义、唯一性、运算规则、极限替换以及各种判断定理，如夹逼定理和洛必达法则。通过实例演示了如何利用这些定理分析函数行为和证明极限问题，展示了与数列极限的紧密联系。

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函数极限的各种性质和定理简直就是数列极限的翻版。

在以下描述函数极限的性质中，术语 “趋于某值” 内涵包括趋于趋于特定值、 $±∞\pm\infty$ 或左右极限，用 $lim⁡f(x)\lim f(x)$ 简记。

函数极限的性质

1.1 函数极限的定义（趋于特定点、 $±∞\pm\infty$ 、左右极限）。

1.2 若一个函数趋于某值有极限，则这个函数的极限唯一。

1.3 若 $lim⁡f(x)=A\lim f(x)=A$ ，则有 $lim⁡∣f(x)∣=∣A∣\lim |f(x)| = |A|$ 。

1.4 若一个函数趋于某值有极限，则该函数在该值的某领域内有界。

1.5 函数极限的保序性。

1.6 函数极限的四则运算。

1.7 若 $g (x)$ 有界， $lim⁡f(x)=0(or±∞)\lim f(x)=0(\text{or}\pm\infty)$ ，则 $lim⁡f(x)g(x)=0(or±∞)\lim f(x)g(x)=0(\text{or}\pm\infty)$ 。

1.8 $f (x)$ 趋于某值时收敛于 $A$ 的充要条件是，对任意收敛于该值的数列 $x_n$ ，均有 $f(x_n)$ 收敛于 $A$ 。

这个定理常常用来证明一个函数趋于某值时是发散的。

函数极限的判断定理

2.1 夹逼定理

2.2 单调有界收敛定理

2.3 上下极限相等收敛定理

2.4 柯西收敛定理

上述四个定理都是数列极限相关定理在函数极限上的翻版，但施笃兹定理的翻版是洛必达法则，这个在后面的导数部分会涉及。

2.5 设 $lim⁡y→y0f(y)=A\lim_{y\to y_0} f(y)=A$ ， $lim⁡x→x0g(x)=y0\lim_{x\to x_0}g(x)=y_0$ ，且在 $x_0$ 的某空心领域 $N(x0,δ)N(x_0,\delta)$ 内均有 $g(x)≠y0g(x)\neq y_0$ ，则有 $lim⁡x→x0f(g(x))=A\lim_{x\to x_0}f(g(x))=A$ 。

此定理称作函数极限的复合法则，若 $f(y_0)$ 有定义，且满足 $lim⁡y→y0f(y)=f(y0)\lim_{y\to y_0}f(y)=f(y_0)$ ，则可将 $g(x)≠y0g(x)\neq y_0$ 这一条件去掉。

复合法则中关于趋于特定值可改成趋于 $±∞\pm\infty$ 或左右极限，也可以改成数列极限。

极限替换

2.6 设 $f (x), g (x), h (x)$ 在 $x=x_0$ 的某空心领域 $N(x0,δ)N(x_0,\delta)$ 内有定义，且满足
$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1$
则有
$\lim_{x\to x_0}f(x)h(x)=\lim_{x\to x_0}g(x)h(x)$
其中 $x_0$ 可替换成 $±∞\pm\infty$ 。

这条定理说明了在极限中等价无穷小可以用来替换因子。

2.7 设 $lim⁡f(x)=A\lim f(x)=A$ ，则有 $lim \exp(f(x))=\exp(\lim f(x))=e^A$ ，若 $A=−∞A=-\infty$ ，则有 $lim⁡exp⁡(f(x))=0\lim \exp(f(x)) = 0$ ，若 $A=+∞A=+\infty$ ，则有 $lim⁡exp⁡(f(x))=+∞\lim\exp(f(x))=+\infty$ 。

证明

函数 $e^x$ 具有连续性，即 $∀x0∈(−∞,+∞)\forall x_0\in(-\infty,+\infty)$ ， $lim⁡x→x0ex=ex0\lim_{x\to x_0}e^x=e^{x_0}$ ，再用上极限的复合法则即得。

这条定理说明了指数运算和极限运算的可交换性。

2.8 设 $lim⁡f(x)=A(A>0)\lim f(x)=A(A>0)$ ，则有 $lim⁡ln⁡(f(x))=ln⁡(lim⁡f(x))=ln⁡A\lim \ln(f(x))=\ln(\lim f(x))=\ln A$ ，若 $A = 0$ ， $lim⁡ln⁡(f(x))=−∞\lim \ln(f(x)) = -\infty$ 。若 $A=+∞A=+\infty$ ，则有 $lim⁡ln⁡(f(x))=+∞\lim \ln(f(x))=+\infty$ 。

证明

同 $e^x$ 的类似。

这条定理说明了对数运算和极限运算的可交换性。

2.9 设 $s∈Rs\in\mathbb{R}$ ， $lim⁡x→x0f(x)=A\lim_{x\to x_0} f(x)=A$ ，且 $A^s$ 有意义或为 $±∞\pm\infty$ ，且在 $x=x_0$ 处的空心领域内 $f(x)^s$ 有意义，则有
$\lim_{x\to x_0}f(x)^s=A^s$
其中 $x_0$ 可换成 $±∞\pm\infty$ 。

证明

分别按 $s$ 为整数、非整的正有理数、非整的负有理数、非有理的正实数、非有理的负实数讨论。

等价无穷小

设 $f (x), g (x)$ 在 $x=x_0$ 处的某空心领域中有定义，且满足
$\lim_{x\to x_0}f(x)=0,\lim_{x\to x_0} g(x)=0,\\ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1$
则称 $f (x)$ 与 $g (x)$ 为在 $x=x_0$ 处的等价无穷小，若不给出 $x_0$ ，则默认是在 $x = 0$ 处的无穷小。

下面是在 $x = 0$ 处的等价无穷小。
$KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 16: \sin(x)\sim x &̲ 1-\cos x\sim \…$

习题选做

1. 设 $f (x)$ 在 $(a,+∞)(a,+\infty)$ 上有定义，且 $∀b>a\forall b > a$ ， $f (x)$ 在 $(a, b)$ 上有界，求证
$\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}f(x+1)-f(x)$
若右端存在的话。

证明

设
$\lim_{x\to+\infty}f(x+1)-f(x)=A$
不妨认为 $A > 0$ 。

$∀ε>0\forall \varepsilon>0$ ， $∃X>a\exists X>a$ ， $∀x>X\forall x>X$ 有
$A-\varepsilon<f(x+1)-f(x)<A+\varepsilon$
$∃x0∈(X,X+1]\exist x_0\in(X,X+1]$ 和 $n∈N∪{0}n\in\mathbb{N}\cup\{0\}$ ，满足 $x=x_0+q$ ，所以
$(x-x_0)(A-\varepsilon)<f(x)-f(x_0)<(x-x_0)(A+\varepsilon)\\ x(A-\varepsilon)<f(x)-f(x_0)<x(A+\varepsilon)\\ \frac{f(x_0)}{x}+A-\varepsilon<\frac{f(x)}{x}<A+\varepsilon+\frac{f(x_0)}{x}$
有题设知 $f (x)$ 在 $(X, X + 1]$ 有界，不妨设界为 $M$ ，则 $f(x_0)|<M$ 。

则 $∃X′>X\exists X^{\prime}>X$ 使得 $∀x>X′\forall x>X^{\prime}$ 有
$\frac{|f(x_0)|}{x}<\frac{|M|}{x}<\varepsilon$
所以 $∀x>X′\forall x>X^{\prime}$ 有
$A-2\varepsilon<\frac{f(x)}{x}<A+2\varepsilon$
所以
$\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=A$
证毕。

如果去掉题目中 “ $∀b>a\forall b > a$ ， $f (x)$ 在 $(a, b)$ 上有界” 这一条件，这结论不成立，反例由下给出
$f(x)=\left\{\begin{aligned} &\tan(\pi x)&(x\neq {1\over2})\\ &0&(x={1\over2}) \end{aligned}\right.$
容易验证 $lim⁡x→+∞f(x)x\lim_{x\to+\infty}{f(x)\over x}$ 不存在，而 $∀x∈R\forall x\in\mathbb{R}$ 有 $f (x + 1) = f (x)$ ，故 $lim⁡x→+∞f(x+1)−f(x)=0\lim_{x\to+\infty}f(x+1)-f(x)=0$ ，两者并不相等。

在原题目的条件下，还有结论
$\lim_{x\to+\infty}f(x)^{1/ x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x+1)}{f(x)}$
2. 设 $a, b, c > 0$ 求
$\lim_{x\to0}\left(\frac{a^x+b^x+c^x}{3}\right)^{1/x}$

解

$\begin{aligned} Origin&=\lim_{x\to0}\exp(\frac{\ln(1+\frac{a^x-1+b^x-1+c^x-1}{3})}{\frac{1}{3}(a^x+b^x+c^x)-1}\cdot\frac{a^x+b^x+c^x-3}{3x})\\ &=\lim_{x\to0}\exp(\frac{(a^x-1)+(b^x-1)+(c^x-1)}{3x})\\ &=\exp(\frac{\ln a+\ln b+\ln c}{3})\\ &=\sqrt[3]{abc} \end{aligned}$

当指数和底数同时为函数时，适宜用 $exp⁡\exp$ 和 $ln⁡\ln$ 处理。

注意等价无穷小的替换。

3. 设 $0<α<10<\alpha<1$ ， $f (x)$ 是 $[a, b]$ 到 $[a, b]$ 上的映射，且满足 $∀x,y∈[a,b]\forall x,y\in[a,b]$ 有 $∣f(x)−f(y)∣<α∣x−y∣|f(x)-f(y)|<\alpha|x-y|$ ，求证存在唯一的 $ξ∈[a,b]\xi\in[a,b]$ 使得 $f(ξ)=ξf(\xi)=\xi$ 。

证明

易知该函数是连续的。

首先证明存在性，任取 $x0∈[a,b]x_0\in[a,b]$ ，定义数列 $x_n=f(x_{n-1})$ ，不妨假设 $x1≠x0x_1\neq x_0$ ，由题设可知
$\begin{aligned} |x_n-x_{n-1}|&=|f(x_{n-1})-f(x_{n-2})|\\ &<\alpha|x_{n-1}-x_{n-2}|<...<\alpha^{n-1}|x_1-x_0| \end{aligned}$
$∀m∈N+,m>n\forall m\in\mathbb{N}^+,m>n$ ，将不等式按 $n = n + 1, n + 2, . . ., m$ 累和得
$|x_m-x_n|<\frac{\alpha^n-\alpha^m}{1-\alpha}|x_1-x_0|<\frac{\alpha^n}{1-\alpha}|x_1-x_0|$
$∀ε>0\forall \varepsilon>0$ ，取
$N=\lceil\log_{a}(\frac{\varepsilon(1-\alpha)}{|x_1-x_0|})\rceil$
则 $∀m,n∈N+∧m>n>N\forall m,n\in\mathbb{N}^+\wedge m>n>N$ 有
$|x_m-x_n|<\varepsilon$
由柯西收敛定理知 $lim x_n$ 存在，不妨设它为 $A$ ，再由 $f (x)$ 的连续性可知
$A=\lim x_n=\lim f(x_{n-1})=f(\lim x_{n-1})=f(A)$
故存在性得证。

设 $g_0(x)=x,\ g_n(x)=f(g_{n-1}(x))$ ， $∀x,y∈[a,b]\forall x,y\in[a,b]$ 有
$g_n(x)-g_n(y)|<a^{n}|x-y|$
所以
$\lim_{n\to\infty}g_n(x)-g_n(y)=0$
又因为 $lim g_n(x)$ 和 $lim g_n(y)$ 存在，所以通过简单的反证可知 $ξ\xi$ 唯一。