连续性与函数特性：从间断点到实数系定理-优快云博客

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连续性的性质

1.1 连续性的定义（连续、左连续、右连续），可去间断点、第一类间断点、第二类间断点的定义。

1.2 若函数在某点处连续，则在改点的某领域内函数有界。

1.3 若 $f (x)$ 为集合 $I⊂RI\sub\mathbb{R}$ 上的连续的严格单调函数，值域为 $J$ ，则 $f (x)$ 的反函数 $f^-(x)$ 为在 $J$ 上的连续的严格单调函数。

1.4 连续性可以通过四则运算传递。

1.5 连续函数的复合函数在相应定义域上连续。

1.6 $f (x)$ 在 $x_0$ 处连续（左连续、右连续）的充分必要条件是，对任何数列 $x_n$ 满足 $xn→x0x_n\to x_0$ （ $xn→x0−x_n\to x_0^-$ 、 $xn→x0+x_n\to x_0^+$ ），有 $lim f(x_n)=f(x_0)$ 。

1.7 一致连续的定义。

1.8 一致连续可以通过四则运算传递。

1.9 一致连续函数的复合函数在相应定义域上一致连续。

闭区间上连续函数的性质

2.1 闭区间上的连续函数必有界。

2.2 闭区间上的连续函数可取到最大值或最小值。

2.3 闭区间上的连续函数可取到介于最大值和最小值之间的任何数（介值定理）。

2.4 闭区间上的连续函数在该区间上一致连续。

实数系的基本定理

3.1 戴德金连续性公理。

3.2 确界存在定理。

3.3 单调收敛定理。

3.4 区间套定理。

3.5 有限开覆盖定理。

3.6 致密性定理、聚点定理。

3.7 柯西收敛定理。

这七个定理实际上是等价的。

习题选做

4.1 设 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 上连续，且 $lim⁡x→a+f(x)\lim_{x\to a^+}f(x)$ 和 $lim⁡x→b−f(x)\lim_{x\to b^-} f(x)$ 存在，求证 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 上一致连续。

证明

将 $f (x)$ 的定义域拓展为 $[a, b]$ 。
$f(a)=\lim_{x\to a^+}f(x)\quad f(b)=\lim_{x\to b^-} f(x)$
于是 $f (x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，所以 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上一致连续。

证毕。

值得注意的是，若把 $f (x)$ 在左右端点处有极限的条件换成 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 上有界连续，则不足以保证 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 上一致连续，反例是
$f(x)=\sin(\frac{1}{x})\quad (x\in (0,+\infty))$
若将条件中的 $a$ 换成 $−∞-\infty$ 或 $b$ 换成 $+∞+\infty$ ，则结论仍然成立。

4.2 设 $f (x)$ 在 $(a, b]$ 和 $[b, c)$ 上一致连续，求证 $f (x)$ 在 $(a, c)$ 上一致连续。

证明

证毕。

若将题目中的 $[b, c)$ 改成 $(b, c)$ 其它条件不变，则 $f (x)$ 在 $x = b$ 处不一定连续，所以 $f (x)$ 在 $(a, c)$ 上自然不一定一致连续。

这个命题说明了，若函数 $f (x)$ 在若干闭区间上一致连续，则 $f (x)$ 在这些闭区间的并集上也一致连续。

4.3 设 $f (x)$ 在 $(0,+∞)(0,+\infty)$ 上连续而有界， $c > 0$ ，求证存在数列 ${x_n\}$ 趋向于 $+∞+\infty$ ，使得
$\lim_{n\to\infty} f(x_n+c)-f(x_n)=0$
对于每个 $n∈Nn\in\mathbb{N}$ ，我们构造出 $xn≥nx_n\ge n$ ，满足 $∣f(xn+c)−f(xn)∣<1n|f(x_n+c)-f(x_n)|<\frac{1}{n}$ 。

令 $g (x) = f (x + c) - f (x)$ ，则可知 $g (x)$ 是 $(0,+∞)(0,+\infty)$ 上的有界连续函数。

现在反设不存在我们想要的 $x_n$ ，即 $∀x≥n\forall x\ge n$ ， $∣g(x)∣≥1n|g(x)|\ge\frac{1}{n}$ 。

若 $g (n) > 0$ ，则必有 $∀x≥n\forall x\ge n$ ， $g(x)≥1ng(x)\ge\frac{1}{n}$ ，否则 $∃x0>n\exists x_0>n$ ，满足 $g(x0)<−1ng(x_0)<-\frac{1}{n}$ ，所以 $g(n)g(x_0)<0$ 。

由 $g (x)$ 在 $n,x_0]$ 上连续和介值定理可知， $∃ξ∈(n,x0)\exists \xi\in(n,x_0)$ ，满足 $g(ξ)=0g(\xi)=0$ ，这与 $∣g(x)∣≥1n(x≥n)|g(x)|\ge\frac{1}{n}(x\ge n)$ 矛盾。

于是 $∀m∈N\forall m\in\mathbb{N}$ ，有 $f(n+m⋅c)−f(n)=mnf(n+m\cdot c)-f(n)=\frac{m}{n}$ ，于是 $lim⁡m→∞f(n+m⋅c)=+∞\lim_{m\to\infty}f(n+m\cdot c)=+\infty$ ，这与 $f (x)$ 在 $(0,+∞)(0,+\infty)$ 上有界矛盾。

若 $g (n) < 0$ ，类似的，也能推出矛盾。

故 $∃x0≥n\exists x_0\ge n$ ，满足 $∣g(x0)∣<1n|g(x_0)|<\frac{1}{n}$ ，于是可取 $x_n=x_0$ 。

证毕。

4.4 设函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 连续且对任何 $x,y∈(−∞,+∞)x,y\in(-\infty,+\infty)$ ，均有 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ ，求证：

（i） $f (x)$ 在 $(−∞,+∞)(-\infty,+\infty)$ 上连续。

（ii） $∃a∈R\exists a\in\mathbb{R}$ ，使 $f (x) = a x$ 。

证明

即便去掉 $f (x)$ 在 $x = 0$ 出连续的条件，也能得出 $∀a∈Q\forall a\in\mathbb{Q}$ ，有 $f (a x) = a f (x)$ 。

因为 $f (0) = f (0 + 0) = f (0) + f (0)$ ，所以 $f (0) = 0$ 。

所以 $∀n∈N+\forall n\in\mathbb{N}^+$ ，有 $f (n x) = n f (x)$ ， $f (- n x) = f (0) - f (n x) = - n f (x)$ 。

所以 $∀p,q∈Z∧q≠0\forall p,q\in\mathbb{Z}\wedge q\neq 0$ ，有 $f(pqx)=1qf(px)=pqf(x)f(\frac{p}{q}x)=\frac{1}{q}f(px)=\frac{p}{q}f(x)$ 。

所以 $∀a∈Q\forall a\in\mathbb{Q}$ ，有 $f (a x) = a f (x)$ 。

（i） $∀x0≠0\forall x_0\neq 0$ ，取 $n∈Nn\in\mathbb{N}$ 满足 $x0n∈[−δ2,δ2]\frac{x_0}{n}\in[-\frac{\delta}{2},\frac{\delta}{2}]$ 。

$∀ε>0\forall \varepsilon>0$ ， $∃δ>0\exists \delta >0$ ，使 $∀x∈[−δ,δ]\forall x\in[-\delta,\delta]$ ，有 $∣f(x)∣<εn|f(x)|<\frac{\varepsilon}{n}$ 。

所以 $∀∣x−x0∣<δ2n\forall |x-x_0|<\frac{\delta}{2n}$ ，有 $xn∈[−δ,δ]\frac{x}{n}\in[-\delta,\delta]$ ，所以 $∣f(x)−f(x0)∣=n∣f(xn)−f(x0n)∣<n⋅εn=ε|f(x)-f(x_0)|=n|f(\frac{x}{n})-f(\frac{x_0}{n})|<n\cdot \frac{\varepsilon}{n}=\varepsilon$ 。

所以
$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$
所以 $f (x)$ 在 $(−∞,+∞)(-\infty,+\infty)$ 上连续。

（ii）取 $a = f (1)$ 。

$∀x0∈(−∞,+∞)\forall x_0\in(-\infty,+\infty)$ ，取有理数列 ${x_n\}$ 趋向于 $x_0$ ，则有
$f(x_0)=\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{n\to\infty}f(x_n)=\lim_{n\to\infty}x_n\cdot f(1)=f(1)x_0$
所以有 $f (x) = f (1) x$ 。

证毕。

若将题目中的在 $x = 0$ 处连续的条件改为在某一点 $x=x_0$ 处连续，则结论仍然成立。

$f (x + y) = f (x) + f (y)$ 的条件相当于是给出了一个函数方程，这样的函数方程历史上由柯西第一次发表相关的研究，故称作柯西方程。

由前面的讨论我们已经知道，若对柯西方程加上 $f (x)$ 在某处连续的条件，则可证明齐次线性函数 $f (x) = f (1) x$ 是唯一解函数。

但若去掉关于连续性的条件，则 $f (x) = f (1) x$ 不是唯一解，可以构造出处处不连续的的反例，但这个构造这个反例需要用到函数项级数相关的知识，故这里先不给出反例。

4.5 设 $a > 0$ ，函数 $f (x)$ 在 $[a,+∞)[a,+\infty)$ 上满足利普希兹条件： $∃L>0\exists L>0$ ，对任意 $x,y∈[a,+∞)x,y\in[a,+\infty)$ ，都有
$|f(x)-f(y)|\le L|x-y|$
求证函数 $f(x)x\frac{f(x)}{x}$ 在 $[a,+∞)[a,+\infty)$ 上一致连续。

证明

易证 $f (x)$ 在 $[a,+∞][a,+\infty]$ 上一致连续。

任取 $x,y∈[a,+∞]x,y\in[a,+\infty]$ ，设 $M=sup⁡{f(t)∣t∈[x,y]}M=\sup\{f(t)|t\in[x,y]\}$ 。
$\begin{aligned} \left|\frac{f(x)}{x}-\frac{f(y)}{y}\right|&=\left|\frac{f(x)-f(y)}{x}+f(y)\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)\right|\\ &\le \frac{L}{x}|x-y|+|f(y)|\left|\frac{x-y}{xy}\right|\\ &\le \left(\frac{L}{a}+\frac{M}{a^2}\right)|x-y| \end{aligned}$
于是 $f(x)x\frac{f(x)}{x}$ 在 $[a,+∞)[a,+\infty)$ 上一致连续。

利普希兹条件是一个比一致连续还要强的条件，它在函数项级数、微分方程当中有着广泛的应用。

4.6 设函数 $f (x)$ 在 $[a,+∞)[a,+\infty)$ 上一致连续且对任意的 $x≥ax\ge a$ ，都有
$\lim_{x\to+\infty}f(x+n)=0$
求证
$\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$
证明

$∀ε>0\forall \varepsilon>0$ ， $∃δ>0\exists\delta>0$ ， $∀∣x−y∣<δ\forall |x-y|<\delta$ ， $∣f(x)−f(y)∣<ε|f(x)-f(y)|<\varepsilon$ 。

取 $n∈Nn\in\mathbb{N}$ 且 $1n<δ\frac{1}{n}<\delta$ ，取 $(k=0,1,2,...,n)x_k=\frac{k}{n}\ (k=0,1,2,...,n)$ 。

因为 $limm→∞f(xk+m)=0lim_{m\to\infty}f(x_k+m)=0$ ，所以 $∃Mk∈N\exists M_k\in\mathbb{N}$ ， $∀m>Mk\forall m>M_k$ ， $∣f(xk+m)∣<ε|f(x_k+m)|<\varepsilon$ 。

取 $M=\max\{M_k\}+1$ ， $∀x≥M\forall x\ge M$ ， $∃k,l∈N∧0≤k≤n∧l≥M\exists k,l\in\mathbb{N}\wedge 0\le k\le n\wedge l\ge M$ ，满足 $x∈[xk+l,xk+1+l]x\in[x_k+l,x_{k+1}+l]$ 。

证毕。

4.7 证明介值定理，设 $f (x)$ 是在 $[a, b]$ 上的连续函数，求证对任何在 $f (a)$ 与 $f (b)$ 之间的数 $C$ ，存在 $ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)$ 使得 $f(ξ)=Cf(\xi)=C$ 。

证明

不妨设 $f (a) < C < f (b)$ 。

令
$\xi=\sup\{t|f(x)<C,x\in[a,t]\}$
现在证明 $f(ξ)=Cf(\xi)=C$ 。

由 $f (x)$ 在 $x = a$ 处的连续性和 $f (a) < C$ 可知， $ξ∈(a,b]\xi\in(a,b]$ 。

由 $ξ\xi$ 的定义可知， $∀x∈[a,ξ)\forall x\in[a,\xi)$ ， $f (x) < C$ 。（*）

若 $ξ=b\xi=b$ ，则 $∀x∈[a,b)\forall x\in[a,b)$ ，有 $f (x) < C$ ，所以
$f(b)=\lim_{x\to b^-}f(x)\le C$
与题设矛盾，则有 $ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)$ 。

若 $f(ξ)>Cf(\xi)>C$ ，由 $f (x)$ 在 $x=ξx=\xi$ 处的连续性可知， $∃x0∈[a,ξ)\exists x_0\in[a,\xi)$ ，满足 $f(x_0) > C$ ，这与（*）矛盾。

若 $f(ξ)<Cf(\xi)<C$ ，由 $f (x)$ 在 $x=ξx=\xi$ 处的连续性可知， $∃δ>0\exists\delta>0$ ，满足 $∀x∈[ξ,ξ+δ]\forall x\in[\xi,\xi+\delta]$ ，有 $f (x) < C$ ，所以有
$\xi+\delta\in\{t|f(x)<C,x\in[a,t]\}$
而 $ξ+δ>ξ\xi+\delta>\xi$ ，这与 $ξ\xi$ 作为上确界的定义矛盾。