函数极限

一、函数的极限

定义：在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做在一变化过程中的函数的极限

1. 自变量趋于有限值时函数的极限

自变量变化的过程：$x\to x_0，f\left(x\right)\to A$，称$A$是$f\left(x\right)$当$x\to x_0$时的极限。

如果对于任意给定的正数 $\epsilon$ (不论他有多小)，总存在着正数 $\delta$，使得对于合适的不等式 $0<|x-x_0|<\delta$的一切$x$，所对应的函数值 $f\left(x\right)$都满足不等式 $|f\left(x\right)-A|<\epsilon$，那么常数 $A$就叫做函数 $f\left(x\right)$当$x\to x_0$时的极限，记作 ${\lim }_{x\to x_0}f\left(x\right)=A$ 或 $f\left(x\right)\to A(当x\to x_0)$。

注意：

1. 函数极限与 $f\left(x\right)$ 在$x_0$是否定义无关。
2. $\delta$ 与任意给定的正数 $\epsilon$相关。
3. 找到一个 $\delta$后，$\delta$越小越好，它体现了 $x$接近$x_{0}的程度。
   
   

2. 单侧极限

3. 自变量趋近于无穷大时函数的极限

如果对于任意给定的正数 $\epsilon$ (不论他有多小)，总存在着正数 $X$，使得对于适合不等式 $|x|>X$的一切$x$，所对应的的函数值$f\left(x\right)$都满足不等式 $|f\left(x\right)-A|<\epsilon$，那么常数 $A$ 就叫做函数 $f\left(x\right)$ 当$x\to \infty$时的极限，记作${\lim }_{x\to \infty }f\left(x\right)=A或f\left(x\right)\to A(x\to \infty )$

4. 函数极限的性质

• 唯一性
  定理：如果${\lim }_{x\to x_0}f\left(x\right)$存在，那么此极限唯一。

• 局部有界性
  定理：如果${\lim }_{x\to x_0}f\left(x\right)$那么常数$M>0$和 $\delta >0$，使得当 $0<|x-x_0|<\delta$时，有 $|f\left(x\right)|\le M$

• 局部保号性
  

• 函数极限与数列极限的关系
  

5. 小结