没看过数列极限的可以先看看: 数列极限的概念及性质
函数极限的概念
函数
定义
设有两个变量x和y,如果变量x在变化范围D内任取一个数值时,按照一定的对应法则f,变量y∈M有确定的数值与之对应,则称变量y是x的函数(function)。记为y=f(x),x—自变量(independent variable),y—因变量(dependdent variable)。
- 定义域
定义域 domain of definition:数集D(x取值范围)称为函数f的定义域(使函数有定义的x 值的全体)。 - 值域
值域domain of functional value:全体函数值的集合。F(D)={y/y=f(x),x∈D}=M
函数的连续
f(x)在x0连续⇔limx→x0f(x)=f(x0)⇒∀ϵ>0,∃δ>0,∀x∈O(x0,δ),|f(x)−f(x0)|<ϵ
一个函数连续指在其定义域内任一点都连续
注: 1x(x∈R,x≠0)是连续函数。
函数的极限
函数极限的描述性定义
在自变量的某个变化过程中,若对应的函数值无限接近于一个确定的常熟,那么,这个确定的常数就叫做
这一变化的过程中函数的极限。
- 注:函数的极限表示函数的变化趋势,并不表示某个值。
函数极限的定义
设函数在点
x0
的某领域内有定义(点
x0
可除外),对任意给定的小正数
ϵ
,总存在一个正数
δ
,使当
0<|x−x0|<δ
时,不等式
|f(x)−A|<ϵ
恒成立,称
A
为函数
注:此时 x0 可以不在定义域内,且 A 可以不等于
f(x0) (此时函数在 x0 这一点不连续)。limx→+∞f(x)=A⇔∀ϵ>0,∃<.s.t.∀x>=M,|f(x)−A|<ϵ
limx→−∞f(x)=A⇔∀ϵ>0,∃<.s.t.∀x<=M,|f(x)−A|<ϵ
函数极限的几何意义
根据定义,函数f(x)在x0处有极限⇔∃A,∀ϵ>0,∃δ>0,s.t.0<|x−x0|<δ,|f(x)−A|<ϵ成立,此时limx→x0f(x)=A
0<|x−x0|<δ也可写作x0∈O(x0,δ)∖{x0}
- 注:
1. 0<|x−x0|<δ 不包括 x0
2. x0 可以不在定义域内,或者函数 f(x) 在 x0 处可以不连续,极限表达的只是函数接近 x0 点时的趋势。
3. limx→x0f(x) 与 f(x0) 无本质联系。
例题
求证:
证明:
- 注:取 ϵ 时用到其任意性,只能取 ϵ<a ,这样才能保证其精度正确( ϵ >=a的情况在 ϵ < a的时候也能满足,反之却不能)
函数极限的性质
三个性质
1. f(x) 在 x→x0 的极限唯一
证明:
2.局部保序性
limx→x0f(x)=A<B=limx→x0g(x)⇒∃δ>0,s.t.0<|x−x0|<ϵ,f(x)<g(x)
3.夹逼性
∃δ>0,s.t.0<|x−x0|<δ,f(x)<=g(x)<=h(x),limx→x0f(x)=limx→x0h(x)=A⇒limx→x0g(x)=A
例题
求证:
证明:
四则运算法则
- 注
1. limx→x0f(g(x))=f(limx→x0g(x))当且仅当f(x)在x→x0为连续函数
关于无穷量小的比较
- 两个无穷小量之比(商)不一定是无穷小量。
例题
1.求:
解:
2.求:
解:
3.求:
解:
4.求:
解:
几个函数的等价替换
根据
limx→0sinxx=1
可以发现在
limx→0
条件下,
sinx
与
x
大致等价。
下面做几组简单的推导:
可以发现:
- 注意:此等价替换只适用于乘除法。即 tanx−sinx 不能等价于 0 .