函数极限的概念及性质

没看过数列极限的可以先看看： 数列极限的概念及性质

函数极限的概念

函数

定义

设有两个变量x和y，如果变量x在变化范围D内任取一个数值时，按照一定的对应法则f，变量y∈M有确定的数值与之对应，则称变量y是x的函数(function)。记为y=f(x),x—自变量(independent variable)，y—因变量(dependdent variable)。

• 定义域
  定义域 domain of definition：数集D（x取值范围）称为函数f的定义域（使函数有定义的x 值的全体）。
• 值域
  值域domain of functional value:全体函数值的集合。F(D)={y/y=f(x),x∈D}=M

函数的连续

• $f(x)在x_0连续 \Leftrightarrow \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\Rightarrow \forall \epsilon>0,\exists \delta >0,\forall x\in O(x_0,\delta),|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$

• 一个函数连续指在其定义域内任一点都连续

• 注：$\frac{1}{x}(x\in R,x\not =0)是连续函数。$

函数的极限

函数极限的描述性定义

在自变量的某个变化过程中，若对应的函数值无限接近于一个确定的常熟，那么，这个确定的常数就叫做
这一变化的过程中函数的极限。

• 注：函数的极限表示函数的变化趋势，并不表示某个值。

函数极限的定义

设函数在点$x_0$的某领域内有定义(点$x_0$可除外)，对任意给定的小正数$\epsilon$，总存在一个正数$\delta$，使当$0<|x-x_0|<\delta$时，不等式 $|f(x)-A|<\epsilon$恒成立，称$A$为函数$y=f(x)$当$x→x_0$时的极限，记作$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=A$.

• 注：此时$x_0$可以不在定义域内，且$A$可以不等于$f(x_0)$（此时函数在$x_0$这一点不连续）。

• $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=A\Leftrightarrow\forall \epsilon>0,\exists <.s.t. \forall x>=M,|f(x)-A|<\epsilon$

• $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}f(x)=A\Leftrightarrow\forall \epsilon>0,\exists <.s.t. \forall x<=M,|f(x)-A|<\epsilon$

函数极限的几何意义

$根据定义，函数f(x)在x_0处有极限\Leftrightarrow\exists A,\forall \epsilon >0, \exists \delta >0,s.t. 0<|x-x_0|<\delta,|f(x)-A|<\epsilon 成立，此时\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=A$

$0<|x-x_0|<\delta 也可写作x_0\in O(x_0,\delta)\setminus \{x0\}$

• 注：
  1.$0<|x-x_0|<\delta$不包括$x_0$
  2.$x_0$可以不在定义域内，或者函数$f(x)$在$x_0$处可以不连续，极限表达的只是函数接近$x_0$点时的趋势。
  3.$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)$与$f(x_0)$无本质联系。

例题

求证：

$$\lim_{x\rightarrow 0}e^x=1$$
证明： $$由\epsilon的任意性，取\epsilon<0\\要使：\exists \delta,x\in O(0,\delta)\setminus \{0\},s.t.1-\epsilon<e^x<1+\epsilon\\即是:In(1-\epsilon)<x<In(1+\epsilon)\\令\delta=min\{|In(1-\epsilon)|,|In(1+\epsilon)|\}\\所以\forall \epsilon >0, \exists \delta >0,s.t. 0<|x-x_0|<\delta,|f(x)-1|<\epsilon 成立,满足定义，即\lim_{x\rightarrow 0}e^x=1$$

• 注：取$\epsilon$时用到其任意性，只能取$\epsilon < a$，这样才能保证其精度正确($\epsilon$>=a的情况在$\epsilon$< a的时候也能满足，反之却不能)

函数极限的性质

三个性质

1.$f(x)$在$x\rightarrow x_0$的极限唯一

证明：

$$设A,B是函数f(x)在x\rightarrow x_0的极限\\\forall \epsilon>0,\exists\delta_1,\forall x\in O(x_0,\delta_1)\setminus\{x_0\},\\s.t.|f(x)-A|<\epsilon\\\exists\delta_2,\forall x\in O(x_0,\delta_2)\setminus\{x_0\},\\s.t.|f(x)-A|<\epsilon\\令\delta=min\{\delta_1,\delta_2\}\\\forall x\in O(x_0,\delta),|f(x1)-A|<\delta,|f(x)-B|<\delta\\|A-B|<=|f(x)-A|+|f(x)-B|<2\epsilon\\由\epsilon的任意性可知，A=B$$

2.局部保序性
$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=A<B=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}g(x)\\\Rightarrow \exists \delta>0,s.t.0<|x-x_0|<\epsilon,f(x)<g(x)$

3.夹逼性
$\exists \delta>0,s.t.0<|x-x_0|<\delta,f(x)<=g(x)<=h(x),\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}h(x)=A\\\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow x_0}g(x)=A$

例题

求证：

$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin\,x}{x}=1$$
证明：
$$半径为r的扇形OAB，圆心角为x.(<π/2). \\ 作过B点垂直于OB的切线接于OA与D. \\ 现在讨论面积： \\ 三角形△OAB<扇形OAB<三角形△ODB, \\所以r²sinx/2<r²x/2<r²tanx/2.\\同除以r²/2, 得 sinx<x<tanx (0<x<π/2). \\进一步化简得cos \,x<\frac{sin\, x}{2}<1 \\1=\lim_{x\rightarrow x_0}cos \,x<=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{sin\,x}{x}<=1 \\所以\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{sin\,x}{x}=1$$

四则运算法则

$$\begin{align}&设\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A，\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)=B。那么\\ & 1.\lim_{x\rightarrow x_0}(\alpha f(x)+\beta g(x))=A=\alpha A+\beta B\\& 2.\lim_{x\rightarrow x_0}(\alpha f(x)+\beta g(x))=A=\alpha A+\beta B\\& 3.\lim_{x\rightarrow x_0}(f(x)·g(x))=A·B\\& 4.\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}\end{align}$$

• 注
  1.$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(g(x))=f(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}g(x))当且仅当f(x)在x\rightarrow x_0为连续函数$

关于无穷量小的比较

• 两个无穷小量之比（商）不一定是无穷小量。

$$\begin{align}&\lim \frac{\alpha}{\beta}=0\Leftrightarrow \alpha较\beta高阶无穷小\\&\lim \frac{\alpha}{\beta}=\infty\Leftrightarrow \alpha较\beta低阶无穷小\\&\lim \frac{\alpha}{\beta}=A\Leftrightarrow \alpha与\beta同阶无穷小\\&\lim \frac{\alpha}{\beta}=1\Leftrightarrow \alpha与\beta等价无穷小\end{align}$$

例题

1.求：

$$\lim_{x\to 0}\frac{x^2-1}{2x^2-x-1}$$
解： $$\lim_{x\to 0}\frac{x^2-1}{2x^2-x-1}=\lim_{x\to 0}\frac{x+1}{2x+1}=\frac{2}{3}$$

2.求：

$$\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^n-1}{x}$$
解： $$\begin{align}& 由二项式定理\\&\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^n-1}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{C_{0}^{n}1+C_{1}^{n}x+C_{2}^{n}x^2+···+C_{n}^{n}x^n-1}{x}=n\end{align}$$

3.求：

$$\lim_{x\to a}\frac{sin \, x-sin\, a}{x-a}$$
解： $$\lim_{x\to a}\frac{sin \, x-sin\, a}{x-a}=\lim_{x\to a}\frac{2sin(\frac{x-a}{2})cos(\frac{x+a}{2})}{x-a}=cos \,a$$

4.求：

$$\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{1-cos\, a}$$
解： $$\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{1-cos\, a}=\lim_{x\to 0}\frac{4(\frac{x}{2})^2}{2sin(\frac{x}{2})^2}=2$$

几个函数的等价替换

根据$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{sin\,x}{x}=1$可以发现在$\lim\limits_{x\to 0}$条件下,$sin\, x$与$x$大致等价。
下面做几组简单的推导：

$$\begin{align}&1.\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{In (1+x)}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}In (1+x)^{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}In \,e=1\\&2.\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-1}{x}=\lim\limits_{y\rightarrow 0}\frac{y}{In (y+1)}=1\\&3.\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{tan\,x}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{sin\,x}{cos \,x·x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1}{cos \,x}=1\end{align}$$

可以发现：

在limx→0条件下,sinx,In(1+x),(ex−1),tanx与x大致等价。

$$在\lim\limits_{x\to 0}条件下,sin\, x,In(1+x),(e^x-1),tan\,x与x大致等价。$$

• 注意：此等价替换只适用于乘除法。即$tan \,x-sin\,x$不能等价于.