函数极限的概念及性质

本文深入探讨函数极限的概念,包括函数的定义、连续性、极限的描述性定义与数学定义,以及几何意义。此外,还讨论了函数极限的性质,如唯一性、局部保序性和夹逼性,并通过例题解析了四则运算法则和无穷量小的比较。最后,介绍了在limx→0条件下,某些函数的等价替换。

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函数极限的概念

函数

定义

设有两个变量x和y,如果变量x在变化范围D内任取一个数值时,按照一定的对应法则f,变量y∈M有确定的数值与之对应,则称变量y是x的函数(function)。记为y=f(x),x—自变量(independent variable),y—因变量(dependdent variable)。

  • 定义域
    定义域 domain of definition:数集D(x取值范围)称为函数f的定义域(使函数有定义的x 值的全体)。
  • 值域
    值域domain of functional value:全体函数值的集合。F(D)={y/y=f(x),x∈D}=M

函数的连续

  • f(x)x0limxx0f(x)=f(x0)ϵ>0,δ>0,xO(x0,δ),|f(x)f(x0)|<ϵ

  • 一个函数连续指在其定义域内任一点都连续

  • 注: 1x(xR,x0)

函数的极限

函数极限的描述性定义

在自变量的某个变化过程中,若对应的函数值无限接近于一个确定的常熟,那么,这个确定的常数就叫做
这一变化的过程中函数的极限。

  • 注:函数的极限表示函数的变化趋势,并不表示某个值。

函数极限的定义

设函数在点 x0 的某领域内有定义(点 x0 可除外),对任意给定的小正数 ϵ ,总存在一个正数 δ ,使当 0<|xx0|<δ 时,不等式 |f(x)A|<ϵ 恒成立,称 A 为函数y=f(x) xx0 时的极限,记作 limxx0f(x)=A .

  • 注:此时 x0 可以不在定义域内,且 A 可以不等于f(x0)(此时函数在 x0 这一点不连续)。

  • limx+f(x)=Aϵ>0,<.s.t.x>=M,|f(x)A|<ϵ

  • limxf(x)=Aϵ>0,<.s.t.x<=M,|f(x)A|<ϵ

函数极限的几何意义

f(x)x0A,ϵ>0,δ>0,s.t.0<|xx0|<δ,|f(x)A|<ϵlimxx0f(x)=A

0<|xx0|<δx0O(x0,δ){x0}

这里写图片描述

  • 注:
    1. 0<|xx0|<δ 不包括 x0
    2. x0 可以不在定义域内,或者函数 f(x) x0 处可以不连续,极限表达的只是函数接近 x0 点时的趋势。
    3. limxx0f(x) f(x0) 无本质联系。

例题

求证:

limx0ex=1

证明:
ϵϵ<0使δ,xO(0,δ){0},s.t.1ϵ<ex<1+ϵ:In(1ϵ)<x<In(1+ϵ)δ=min{|In(1ϵ)|,|In(1+ϵ)|}ϵ>0,δ>0,s.t.0<|xx0|<δ,|f(x)1|<ϵ,limx0ex=1

  • 注:取 ϵ 时用到其任意性,只能取 ϵ<a ,这样才能保证其精度正确( ϵ >=a的情况在 ϵ < a的时候也能满足,反之却不能)

函数极限的性质

三个性质

1. f(x) xx0 的极限唯一

证明:

A,Bf(x)xx0ϵ>0,δ1,xO(x0,δ1){x0},s.t.|f(x)A|<ϵδ2,xO(x0,δ2){x0},s.t.|f(x)A|<ϵδ=min{δ1,δ2}xO(x0,δ),|f(x1)A|<δ,|f(x)B|<δ|AB|<=|f(x)A|+|f(x)B|<2ϵϵA=B

2.局部保序性
limxx0f(x)=A<B=limxx0g(x)δ>0,s.t.0<|xx0|<ϵ,f(x)<g(x)

3.夹逼性
δ>0,s.t.0<|xx0|<δ,f(x)<=g(x)<=h(x),limxx0f(x)=limxx0h(x)=Alimxx0g(x)=A

例题

求证:

limx0sinxx=1

证明:
rOABx.(<π/2).BOB线OAD.OAB<OAB<ODB,r²sinx/2<r²x/2<r²tanx/2.r²/2,sinx<x<tanx(0<x<π/2).cosx<sinx2<11=limxx0cosx<=limxx0sinxx<=1limxx0sinxx=1

四则运算法则

limxx0f(x)=Alimxx0g(x)=B1.limxx0(αf(x)+βg(x))=A=αA+βB2.limxx0(αf(x)+βg(x))=A=αA+βB3.limxx0(f(x)g(x))=AB4.limxx0f(x)g(x)=AB


  • 1. limxx0f(g(x))=f(limxx0g(x))f(x)xx0

关于无穷量小的比较

  • 两个无穷小量之比(商)不一定是无穷小量。

limαβ=0αβlimαβ=αβlimαβ=Aαβlimαβ=1αβ

例题

1.求:

limx0x212x2x1

解:
limx0x212x2x1=limx0x+12x+1=23

2.求:

limx0(1+x)n1x

解:
limx0(1+x)n1x=limx0Cn01+Cn1x+Cn2x2++Cnnxn1x=n

3.求:

limxasinxsinaxa

解:
limxasinxsinaxa=limxa2sin(xa2)cos(x+a2)xa=cosa

4.求:

limx0x21cosa

解:
limx0x21cosa=limx04(x2)22sin(x2)2=2

几个函数的等价替换

根据 limx0sinxx=1 可以发现在 limx0 条件下, sinx x 大致等价。
下面做几组简单的推导:

1.limx0In(1+x)x=limx0In(1+x)1x=limx0Ine=12.limx0ex1x=limy0yIn(y+1)=13.limx0tanxx=limx0sinxcosxx=limx01cosx=1

可以发现:

limx0,sinx,In(1+x),(ex1),tanxx

  • 注意:此等价替换只适用于乘除法。即 tanxsinx 不能等价于 0 .
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