hdu 1496 Equaions 题解（数论,map）

最新推荐文章于 2019-11-05 22:44:30 发布

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本文介绍了一种高效解决四元二次方程问题的方法，通过优化算法将复杂度从四层循环降低至O(100^2)，利用自定义Map结构避免log开销，实现快速求解。

原链接：
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题意简述

多组数据，每次给定 $a, b, c, d$ ，求有多少 $x 1, x 2, x 3, x 4$ 满足 $ax1^2+bx2^2+cx3^2+dx4^2=0$ 。保证 $a, b, c, d$ 在 $[- 50, 50]$ 范围内，求的 $x 1, x 2, x 3, x 4$ 要在 $[- 100, 100]$ 的计数。

数据

输入

多组数据，读入到文件尾。每组数据包含四个正整数 $a, b, c, d$ ，在 $[- 50, 50]$ 范围内。(即 $> = - 50, < = 50$ )。

输出

有多少 $x 1, x 2, x 3, x 4$ 满足条件并且 $- 100 < = x 1, x 2, x 3, x 4 < = 100$ 。

样例

输入
1 2 3 -4
1 1 1 1
输出
39088
0

思路

显然四层循环是过不去的。。。经过实践，三层也是过不去的。。。必须要 $O(100^2)$
才能过，带 $l o g$ 都不行。。。

但是我们要先能把四层循环写出来。代码:

int ans=0;
for(int x1=-100;x1<=100;++x1)
{
    for(int x2=-100;x2<=100;++x2)
    {
        for(int x3=-100;x3<=100;++x3)
        {
            for(int x4=-100;x4<=100;++x4)
            {
                if (x1*x1*a+x2*x2*b+x3*x3*c+x4*x4*d==0)
                {
                    ++ans;
                }
            }
        }
    }
}

我们对这个代码作一些变形：

int ans=0;
for(int x1=-100;x1<=100;++x1)
{
    for(int x2=-100;x2<=100;++x2)
    {
        for(int x3=-100;x3<=100;++x3)
        {
            for(int x4=-100;x4<=100;++x4)
            {
                if (x3*x3*c+x4*x4*d==-(x1*x1*a+x2*x2*b))
                {
                    ++ans;
                }
            }
        }
    }
}

你会发现我只是移项了一下。。。
但是这样之后就能想出一个优化了。我们会发现，后面两层循环相当于求有多少 $x 3, x 4$ 满足 $cx3^2+dx4^2=-(ax1^2+bx2^2)$ 。然后这个东西我们珂以用一个 $m a p$ 记录出来。我们会轻易想到用 $S T L$ 的 $m a p$ 做。但是我没这么做，因为经过计算，会 $T L E 。。。$ （不是带一个特别大的 $l o g$ 么。。。）

想想优化。 $S T L$ 的 $m a p$ 带一个 $l o g$ ，但是我们其实并不需要带 $l o g$ 。我们能求出来的最小值是 $100^2\times -50$ ，即 $-5\times10^5$ 。我们只要开一个长度为 $2\times 10^6$ 的数组，整个往右滚动 $10^6$ 位，就都珂以变成正下标了，直接上数组。在清空的时候，也不要直接 $m e m s e t$ ，而是反向进行计算的操作（ $+$ 变 $-$ ），这样就珂以保证任何计算都是 $O(100^2)$ 的了，也就珂以过了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace Flandle_Scarlet
{
    #define int long long
    #define N 1001000
    struct Map//更快的Map（不带log）
    {
        int v[(N<<1)+100];
        void clear()
        {
            memset(v,0,sizeof(v));
        }
        int& operator[](int i)//重载[]运算符
        {
            return *(v+i+N);
            //取值的时候向右滚动
        }
    };
    Map rec2;
    //rec2[i]表示x3*x3*c+x4*x4*d==i的有多少
    int a,b;
    int c,d;
    void Build()
    {
        for(int i=-100;i<=100;++i)
        {
            for(int j=-100;j<=100;++j)
            {
                if (i and j)//都不能是0
                {
                    ++rec2[i*i*c+j*j*d];
                }
            }
        }
    }

    void Solve()
    {
        int ans=0;
        for(int i=-100;i<=100;++i)
        {
            for(int j=-100;j<=100;++j)
            {
                if (i and j)
                {
                    ans+=rec2[-(i*i*a+j*j*b)];
                    //记录答案
                }
            }
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }

    void Clear()
    {
        for(int i=-100;i<=100;++i)
        {
            for(int j=-100;j<=100;++j)
            {
                if (i and j)
                {
                    rec2[i*i*c+j*j*d]--;
                    //清空
                }
            }
        }
    }
    void Main()
    {
        if (0)
        {
            freopen("","r",stdin);
            freopen("","w",stdout);
        }
        while(scanf("%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&c,&d)==4)
        {
            Build();
            Solve();
            Clear();
        }
    }
    #undef int //long long
};
int main()
{
    Flandle_Scarlet::Main();
    return 0;
}

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