HDU 2196 题解

题意简述

给一个树（带权值，给定方法：第$i$行两个数$v,w$，分别表示$i$接到哪个点和边长），请依次输出从$i(1<=i<=n)$点开始能到的最长路长度。

数据

输入：
5
1 1//这是第2行，所以表示2和1之间有一个长度为1的边
2 1//同理，这个表示3—2[边长=1]
3 1//这个表示4–3[边长=1]
1 1//这个表示5–1[边长=1]

5
1 1
2 1
3 1
1 1

输出
3
2
3
4
4

思路

每个点开始暴力$DFS$是$O(n)$的（以每个点为根，记录深度，求最大值，$O(n)$处理），然后每次都要换点，就是$O(n^2)$了。
那么，我们想几个$O(n)$的情况、
1.$O(1)$转换，使得我们在枚举$i$点的时候不用每次都新算，而是珂以继承，就$O(n)$了。
似乎不珂行。。。
2.$O(n)$求出所有答案，也就是把所有的点一块跑$DP$。这样总共也是$O(n)$的。
这个仿佛珂以，但如果不尝试的话，就真的没有办法了。
如果要这样搞，首先必须要有一个根，设1为根。
根据套路， 设$dp[i]$表示以$i$为根能走到的最大长度。显而易见地dp[i]=max{dp[son]+dis(son,i)}dp[i]=max\{dp[son]+dis(son,i)\}dp[i]=max{dp[son]+dis(son,i)}，也就是max{所有儿子的max\{所有儿子的max{所有儿子的dp$值加上到儿子的距离\}$。这实在是很好理解，不细讲。
但此时我们会发现，这样还不够。又不是所有点都一定只从下面经过就是最长路。看下面这个图就知道了。

如果这个时候，我们以红色点为起点，然后还只是考虑这个点以下的答案（即绿色部分），就不正确了。我们应该还要考虑蓝色的部分，也就是从$i$点上面经过的最长路径。设这个值为$dp[i][1]$，刚刚的是$dp[i][0]$。不难发现$dp[i][1]$就等于(i到父亲的距离+父亲到一个不经过i点的叶节点最长距离)。
我们知道边界条件$dp[1][1]=0$，因为$1$是根节点。

那么，如何转移呢？

关键就在于第二部分，也就是父亲到一个不经过$i$点的最长距离。大概想想，好像只要找一个离$i$父亲最远的叶节点走过去就是最远了(1)，或者是直接继承$i$父亲往上走的最大值(2)（这个要是有肯定毫不犹豫就继承了，过会会讲如何实现的）。(2)情况也就是$dp[father][1]$，这个没什么难度。

但(1)情况不大全面，要分类一下。如果$i$的父亲往下走的最长路要经过$i$，就不能直接找最长了（不然走重了），珂怜的$i$就只能继承$i$父亲的第二长路了。

否则的情况$i$就珂以继承$i$父亲的第一长路。到此，我们就对这个$dp[i][1]$的转移差不多明白个大概了。但由于这个的思维难度实在是很大，所以看不懂也没有关系，要有耐心。

讲几个代码实现中要注意的问题：

1.由于$dp[i][1]$直接由父亲转移我不会写，所以我写的版本是由$i$向$i$的儿子作转移的方式

2.转移$dp[i][1]$的时候，设$max1,v1$分别为最大长度，此时经过的儿子。$max2,v2$分别为第二大长度，此时经过的儿子。对于$u$点的儿子$v$，如果$v==v1$，说明$u$点的最长路要从$v$经过，所以此时只能选第二大，即$dp[v][1]=max2+w$，其中$w$表示$u$到$v$的距离。

否则（即$v!=v1$的情况），$v$就珂以选最长路了，此时$dp[v]=max1+w$。

还有一个是刚刚留下的$Flag$：如何记录$dp[u][1]$的值？

如果$dp[u][1]>max1$，说明$dp[u][1]$是比所有往下走的路都要优的解，那么我们将$max2,v2$设置为$max1,v1$（即一次滑动操作），令$max1=dp[u][1]$，把$v1$设置为$-1$。那么我们在考虑儿子$v$的时候，无论如何也不会$==v1$，此时就一定珂以继承$v1$的值，也就是$dp[u][1]$。

否则，如果$dp[u][1]==max1$或者$dp[u][1]>max2$，说明$dp[u][1]$虽然不能作为最优解，但是珂以作为第二优的解。用和上面类似的方法更新$max2,v2$的值，当$v==v1$的时候，就珂以来继承这个答案了。

好了，来看看代码吧：

#include<bits/stdc++.h>
#define N 101000
#define LogN 21
#define int long long
using namespace std;
class Graph//奇怪的存图
{
    private:
        int head[N];
        int EdgeCount;
    public:
        struct Edge
        {
            int To,Label,Next;
        }Ed[N<<1];
        void clear()
        {
            memset(head,-1,sizeof(head));
            memset(Ed,-1,sizeof(Ed));
            EdgeCount=0;
        }
        void AddEdge(int u,int v,int w)//directed
        {
            EdgeCount++;
            Ed[EdgeCount]=(Edge){v,w,head[u]};
            head[u]=EdgeCount;
        }

        int Start(int u)
        {
            return head[u];
        }

        int Next(int u)
        {
            return Ed[u].Next;
        }
        int To(int u)
        {
            return Ed[u].To;
        }
        int Label(int u)
        {
            return Ed[u].Label;
        }
}G;

int n;
void Add(int u,int v,int w)//加一个带权无向边
{
    G.AddEdge(u,v,w);G.AddEdge(v,u,w);
}
void Input()
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        int v,w;
        scanf("%lld%lld",&v,&w);
        Add(i,v,w);
    }
}

int dp[N][2];
//dp[i][0/1]:如上解释
void DFS1(int u,int fa)//求出所有dp[i][0]的值
{
    dp[u][0]=0;
    for(int i=G.Start(u);~i;i=G.Next(i))
    {
        int v=G.To(i);
        if (v!=fa)
        {
            DFS1(v,u);
            dp[u][0]=max(dp[u][0],dp[v][0]+G.Label(i));
        }
    }
}
void DFS2(int u,int f)//求出所有dp[i][1]的值
{
    int max1=0,v1=-1;
    int max2=0,v2=-1;//和上面一样
    for(int i=G.Start(u);~i;i=G.Next(i))
    {
        int v=G.To(i),w=G.Label(i);
        if (v!=f)
        {
            int tmp=dp[v][0]+w;//到叶节点的距离
            if (tmp>max1)//说明这是最优解
            {
                max2=max1;v2=v1;//滑动一次
                max1=tmp;v1=v;//更新最优
            }
            else if (tmp==max1 or tmp>max2)//说明这是次优解
            {
                max2=tmp;
                v2=v;//更新次优
            }
        }
    }
    if (u!=1)//说明u不是根节点
    {
        int tmp=dp[u][1];//那么dp[u][1]就是有值的
        if (tmp>max1)
        {
            max2=max1;v2=v1;
            max1=tmp,v1=-1;
        }
        else if (tmp==max1 or tmp>max2)//这个上面讲了
        {
            max2=tmp;v2=-1;
        }
    }
    for(int i=G.Start(u);~i;i=G.Next(i))//转移
    {
        int v=G.To(i),w=G.Label(i);
        if (v!=f)
        {
            if (v==v1)
            {
                dp[v][1]=max2+w;
            }
            else
            {
                dp[v][1]=max1+w;
            }
            DFS2(v,u);
        }
    }
}


main()
{
    while(~scanf("%lld",&n))//处理输入(相比上面的思维要简单的多吧。。。)
    {
        G.clear();
        Input();
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        DFS1(1,0);
        DFS2(1,0);
        for(int i=1;i<=n;i++) printf("%lld\n",max(dp[i][0],dp[i][1]));
    }
    return 0;
}