hdu 4035 maze 题解（期望，树形DP）

原题链接：
hdu

题意简述

$lxhgww$在一个树上，初始在根，即$1$号节点。有三种情况：

1. $e_i$概率 直接胜利 （李胜利：叫我干嘛）
2. $k_i$概率 回到根
3. 否则等概率选择一个点（珂能是父亲，也珂能是儿子），继续

求胜利的期望步数。

数据

输入

多组数据。先是一个$T$，表示$T(T<=30)$组数据。
对于每一组数据，先有一个$n$表示有$n(1<=n<=10000)$个点。然后$n-1$行，每行两个正整数$u,v(1<=u,v<=n,u!=v)$表示$u,v$之间有一条边。再接下来$n$行每行两个正整数$k_i,e_i(0<=k_i,e_i<=100,e_1=k_1=0)$，表示第$i$个点回到根的概率和胜利的概率是$k_i\%，e_i\%$（百分数形式，即$\frac{k_i}{100},\frac{e_i}{100}$）

输出

从$1$开始胜利的期望步数。

样例

输入
3
3
1 2
1 3
0 0
100 0
0 100

3
1 2
2 3
0 0
100 0
0 100

6
1 2
2 3
1 4
4 5
4 6
0 0
20 30
40 30
50 50
70 10
20 60

思路

这个题$n$只有$10000$，但是$hdu$和$CF$的评测姬配置显然是不一样的，所以$n^2$或者$n^3$是显然过不去的。。。先声明一下。。。

好了来想正解。非常暴力的， 我们设$f(i)$表示从$i$开始胜利的期望步数。
那么，有三种情况：

描述	概率	步数	期望步数
直接胜利	$e_i$	$0$	$0$
回到$1$	$k_i$	$f(1)$	$k_{i}f(1)$
别的情况	$\frac{(1-e_i-k_i)}{d_i}$	$\sum _{i->j}(1+f(j))$	$\frac{(1-e_i-k_i)}{d_i}\ast (\sum _{i->j}(1+f(j)))$

其中限制条件$i->j$表示$i$连接到$j$，$d_i$是点$i$的度数。

那么，根据期望的线性性，我们把最右边三个值加起来就是$f(i)$的值了，也就是
$k_{i}f(1)+\frac{(1-e_i-k_i)}{d_i}\ast (1+\sum _{i->j}f(j))①$

但是我们会发现，我们是要求$f(1)$的，就是要从儿子往父亲推。但是。。。我们在推$f(i)$的时候，不仅要知道$i$儿子的$f$值，还要知道$i$父亲的$f$值。珂是此时我们还不知道$i$父亲的$f$值。。。怎么办呢。。。

没有问题，我们解方程就好了。设$f(i)=a_i\ast f(1)+b_i\ast f(fa[i])+c_i②$
（$fa[i]$表示$i$的父亲，$a,b,c$是我们设的未知数）
然后就很水了，只有暴力推式子了。

暴力推式子的过程：

根据①式，
$f(i)$
$=k_{i}f(1)+\frac{(1-e_i-k_i)}{d_i}\ast (\sum _{i->j}(1+f(j)))$
继续变形，
$=k_{i}f(1)+d_i+\frac{(1-e_i-k_i)}{d_i}\ast f(fa[i])+\frac{(1-e_i-k_i)}{d_i}\ast (\sum _{j\in son(i)}f(j))$
(把最后一个$\sum$拆成了三部分：父亲，儿子和常数。其中$son(i)$表示$i$的儿子集合）
(所有的常数加一块就等于d_i）
根据②式，
$=k_{i}f(1)+d_i+\frac{(1-e_i-k_i)}{d_i}\ast f(fa[i])+\frac{(1-e_i-k_i)}{d_i}\ast \sum _{j\in son(i)}(a_{j}f(1)+b_{j}f(fa[j])+c_j)$
会发现，$j$是$i$的儿子，所以$fa[j]$就是$i$。变为：
$=k_{i}f(1)+d_i+\frac{(1-e_i-k_i)}{d_i}\ast f(fa[i])+\frac{(1-e_i-k_i)}{d_i}\ast (\sum _{j\in son(i)}{a}_{j}f(1)+b_{j}f(i)+c_j)$
把后面的$f(i)$拆开，移项到左边，得：
$f(i)-\frac{(1-e_i-k_i)}{d_i}f(i)\sum _{j\in son(i)}{b}_j=k_{i}f(1)+d_i+\frac{(1-e_i-k_i)}{d_i}\ast f(fa[i])+\frac{(1-e_i-k_i)}{d_i}\ast (\sum _{j\in son(i)}{a}_{j}f(1)+c_j)$
拆$\sum$,合并同类项，得：
$(1-\frac{(1-e_i-k_i)}{d_i}\sum _{j\in son(i)}{b}_j)f(i)=(k_i+\frac{(1-e_i-k_i)}{d_i}\sum _{j\in son(i)}{a}_j)f(1)+\frac{(1-e_i-k_i)}{d_i}f(fa[i])+\frac{(1-e_i-k_i)}{d_i}\ast (\sum _{j\in son(i)}{c}_j)+d_i$
即
$f(i)=$

$\frac{(k_i+\frac{(1-e_i-k_i)}{d_i}\sum _{j\in son(i)}{a}_j)f(1)+\frac{(1-e_i-k_i)}{d_i}f(fa[i])+\frac{(1-e_i-k_i)}{d_i}\ast (\sum _{j\in son(i)}{c}_j)+d_i}{(1-\frac{(1-e_i-k_i)}{d_i}\sum _{j\in son(i)}{b}_j)}$

即
$a_i\ast (1-\frac{(1-e_i-k_i)}{d_i}\sum _{j\in son(i)}{b}_j)=(k_i+\frac{(1-e_i-k_i)}{d_i}\sum _{j\in son(i)}{a}_j)$
$b_i\ast (1-\frac{(1-e_i-k_i)}{d_i}\sum _{j\in son(i)}{b}_j)=\frac{(1-e_i-k_i)}{d_i}$
$c_i\ast (1-\frac{(1-e_i-k_i)}{d_i}\sum _{j\in son(i)}{b}_j)=\frac{(1-e_i-k_i)}{d_i}\ast (\sum _{j\in son(i)}{c}_j)+d_i$
算出来右边的东西，除一下即珂得到$a_i,b_i,c_i$。这样，我们发现，就没有上面算出来的还有位置的情况了，然后我们就珂以一遍$DFS$出所有的$a,b,c$值了。

要好好看看的。。。需要很久。。。

这个式子真${}^{tm}$长。要用代码实现这个鬼东西，还是要一些技巧的：

1. 求$a,b,c$的时候，先算右边的东西，再遍历儿子的时候，顺便把$\frac{(1-e_i-k_i)}{d_i}\sum _{j\in son(i)}{b}_j$求好，设为$tmp$，最后$a,b,c$都除一下$(1-tmp)$

珂是如何算右边的呢？见后面两条：

2. $b$的初始值就是$\frac{(1-e_i-k_i)}{d_i}$，非常简单
3. $a,c$都是累加和类型的。但是要注意，$a$除了累加和之外，还有一个$k_i$，所以$a$一开始等于$k_i$。然后我们会发现$c$里面还有个单独的$d_i$，我们把它提出括号，发现就是个$1-e_i-k_i$，因为两个$d_i$通过乘除抵消了。所以$c$的初始值是$1-e_i-k_i$

这样求出$a,b,c$之后，有什么用呐？
我们发现，$1$是没有父亲的，所以$f(fa[1])=0$。然后就得到：
$f(1)=a_{1}f(1)+c_1$
然后解一下这个方程，得：
$f(1)=\frac{c_1}{1-a_1}$

那么就珂以上代码了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace Flandle_Scarlet
{
    #define real double
    #define EPS (1e-9)
    #define N 100100
    class Graph
    {
        public:
            int head[N];
            int EdgeCount;
            struct Edge
            {
                int To,Label,Next;
            }Ed[N<<1];

            void clear()
            {
                memset(Ed,-1,sizeof(Ed));
                memset(head,-1,sizeof(head));
                EdgeCount=0;
            }
            void AddEdge(int u,int v,int w)
            {
                ++EdgeCount;
                Ed[EdgeCount]=(Edge){v,w,head[u]};
                head[u]=EdgeCount;
            }

            int Start(int u)
            {
                return head[u];
            }
            int To(int u)
            {
                return Ed[u].To;
            }
            int Label(int u)
            {
                return Ed[u].Label;
            }
            int Next(int u)
            {
                return Ed[u].Next;
            }
    }G;void Add(int u,int v,int w){G.AddEdge(u,v,w);G.AddEdge(v,u,w);}
    real a[N],b[N],c[N];
    real e[N],k[N];
    int deg[N];
    int n;
    void Input()
    {
        scanf("%d",&n);
        memset(deg,0,sizeof(deg));
        for(int i=1;i<n;++i)
        {
            int a,b;
            scanf("%d%d",&a,&b);
            Add(a,b,1);
            ++deg[a],++deg[b];//记录度数
        }
        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            scanf("%lf%lf",&k[i],&e[i]);
            k[i]/=100.00;
            e[i]/=100.00;//别忘了除100
        }
    }

    void DFS(int u,int f)
    {
        int d=deg[u];//度数
        a[u]=k[u];
        b[u]=(1-k[u]-e[u])/d;
        c[u]=(1-k[u]-e[u]);//三个初始值，原因上面有

        real tmp=0.00;
        for(int i=G.Start(u);~i;i=G.Next(i))
        {
            int v=G.To(i);
            if (~v and v!=f)
            {
                DFS(v,u);
                a[u]+=(1-k[u]-e[u])/d*a[v];
                c[u]+=(1-k[u]-e[u])/d*c[v];
                tmp+=(1-k[u]-e[u])/d*b[v];
                //方程
            }
        }

        a[u]/=(1-tmp);
        b[u]/=(1-tmp);
        c[u]/=(1-tmp);//一定不要忘了除这个
    }
    void Soviet()
    {
        DFS(1,-1);
        if (fabs(1-a[1])>EPS)
        {
            printf("%.6f\n",c[1]/(1-a[1]));
            //输出c[1]/(1-a[1])就是答案
        }
        else puts("impossible");
    }

    void IsMyWife()
    {
        if (0)
        {
            freopen("","r",stdin);
            freopen("","w",stdout);
        }
        int t;scanf("%d",&t);
        for(int i=1;i<=t;++i)
        {
            G.clear();
            Input();
            printf("Case %d: ",i);
            Soviet();
        }
    }
};
int main()
{
    Flandle_Scarlet::IsMyWife();
    return 0;
}

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