hdu 3461 Code Lock 题解（思维，并查集）

最新推荐文章于 2020-03-30 12:15:04 发布

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本文介绍了HDU 3461 Code Lock问题的解题思路，涉及密码长度n和可翻转区间m。通过分析发现，答案与区间翻转次数有关，利用并查集解决无效区间的问题，最终通过快速幂计算26的cnt次方模1000000007的结果。

原题链接：
HDU

题意简述

给定 $n$ ，表示密码长度为 $n$ 。
给定 $m$ 和 $m$ 个区间，每个区间是珂以翻转的，即整体 $+ k$ 之后是相同的密码。注意， $z + 1 = a$ 。比如，如果一个长度为 $2$ 的密码， $1$ 到 $2$ 珂以翻转，那么 $ab,bc,cd,de\cdots za$ 都是相同的密码。

问有多少种不同的密码。对 $10^9+7$ （即 $1000000007$ ）取模。

数据

输入

多组数据。对于每个数据，
第一行有两个正整数 $n, m (n < = 1 e 7, m < = 1 e 3)$ ，表示区间长度和珂翻转的区间个数。
接下来 $m$ 行每行两个正整数 $l, r$ ，描述一个珂以翻转的区间 $[l, r]$ 。

输出

对于每个数据，输出答案。

样例

输入
1 1
1 1
2 1
1 2
输出
1
26

思路

我们会发现，答案肯定是 $26^k$ 。因为每翻转一个区间，答案都是不断的除 $26$ 的。

那么， $k$ 是多少呢？

开始我们会有这样一个猜测： $k = n - m$ 。但是过会我们就被打脸了，而且是被自己打的：看这组数据

答案应该是 $26^2$ 。珂是按上面那个算法跑出来是 $26^1$ 。再说，不同的区间数应该会有 $n (n + 1) / 2$ 个，拿 $n$ 减去它。。。估计会跑出来个 $26$ 的负几次方。。。

那么为什么会出现这种情况呢？原因是有一些区间是没用的。比如说，当我们有了 $[1, 2]$ 和 $[3, 4]$ 后， $[1, 4]$ 就没用了。那么，如何维护这个关系呢？

找到通用形式： $[a, b], [b + 1, c]$ 得出 $[a, c]$ ，其中 $a < = b < c$ 。我们会发现这个式子有点像等式的 $\red{传递性}$ ，珂是好像有没有，一个是 $b$ ，一个是 $b + 1$ 。怎么办呢？

我们把它弄成 $\red{前开后闭区间}$ 不就好了？然后就变成了 $[a - 1, b], [b, c]$ 得出 $[a - 1, c]$ 。我们发现，这太具有传递性了。搞个并查集，就过了。

具体的方法：

一开始设 $c n t = n$
每次合并区间（前开后闭）的时候，记得判一下是否已经在同一个集合里。如果不在，那么 $- - c n t$ 。
最后用快速幂求出 $26^{cnt}\%1000000007$ 。

代码:

#include<cstdio>
using namespace std;
namespace Flandle_Scarlet
{
    #define ll long long
    #define N 10000001
    #define mod 1000000007
    int n,m;
    ll cnt;
    class DSU//并查集
    {
        public:
            int Father[N];
            void Init()
            {
                for(int i=0;i<=n+5;i++)
                {
                    Father[i]=i;
                }
            }
            int Find(int x)
            {
                return (x==Father[x])?x:(Father[x]=Find(Father[x]));
            }
            void Merge(int x,int y)//懒得写按秩合并了
            {
                int ax=Find(x),ay=Find(y);
                if (ax!=ay)
                {
                    --cnt;
                    Father[ax]=ay;
                }
            }
    }D;
    ll qpow(ll a,ll b,ll m)//快速幂
    {
        ll r=1;
        while(b)
        {
            if (b&1) r=r*a%m;
            a=a*a%m,b>>=1;
        }
        return r;
    }
    void Input()
    {
        cnt=n;
        for(int i=1;i<=m;++i)
        {
            int l,r;scanf("%d%d",&l,&r);
            D.Merge(l-1,r);
            //前开后闭
        }
        printf("%lld\n",qpow(26,cnt,mod));
    }

    void IsMyWife()
    {
        if (0)
        {
            freopen("","r",stdin);
            freopen("","w",stdout);
        }
        while(scanf("%d%d",&n,&m)==2)
        {
            D.Init();
            Input();
        }
    }
    #undef ll //long long
    #undef N //10000001
    #undef mod //1000000007
};
int main()
{
    Flandle_Scarlet::IsMyWife();
    return 0;
}