【博弈论】SG(Sprague–Grundy)定理证明和Nim游戏正确性证明

【博弈论】SG(Sprague–Grundy)定理证明和Nim游戏正确性证明

网上好像都是引用的维基，或者证的很不严谨

这里提供一个稍微严谨一点的证明，SG的部分基本上参考了维基 （自己想过，没想出来www）

要转载的话随便转载，就是不知道这垃圾玩意有没有转载的必要啊

定义

公平组合游戏，Nim游戏

满足如下条件的游戏被称为公平组合游戏：

• 两人轮流操作
• 如果有人不能操作，那么他就输了
• 对于当前状态，可以做的决策只与状态有关，和哪个人操作无关

Nim游戏：有 $n$ 堆石子，二人轮流操作，每人可以在某堆中任意取若干个，但不能不取。如果某人不能取了那么它就输了。

常见的棋类就不是公平组合游戏，因为你不可以动别人的棋子。但Nim就是公平组合游戏，因为任何一方都可以拿任何一堆中的石子。

描述一个局面

对于一个局面，我们其实只关心它能到达哪些局面，因此我们用集合来描述一个局面，集合中包含它能到达的后继局面。 （因此你如果要展开这个集合，你会看到很多集合套集合）。如果它没有后继局面（即无法操作），我们用空集描述它。

特殊地，我们记 $\ast n$ 表示一堆含有 $n$ 个石子的Nim局面。容易发现 ∗n={ ∗0,∗1...∗(n−1)}*n=\{*0,*1...*(n-1)\}∗n={ ∗0,∗1...∗(n−1)}，是一个递归的结构。如果要展开就会变成集合套集合。

比如 ∗4={ ∅,{ ∅},{ ∅,{ ∅}}}*4=\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\}∗4={ ∅,{ ∅},{ ∅,{ ∅}}}。

对于一个局面，如果是先手必胜，我们说它是 $N$ 的，否则就是 $P$ 的。

关于胜负情况，好像没有找到相关的函数描述。这里我们用 $win(S)$ 表示局面 $S$ 的胜负情况，其值为 $P$ 或者 $N$。

判定局面的胜负性：

• 如果当前局面可以到达 至少一个 $P$ 局面，那当前是 $N$ 局面
• 如果当前局面后继 全部都是 $N$ 局面，那当前是 $P$ 局面

局面间的关系

局面的和：对于两个局面 $S,S^{\prime }$，定义 $S+S^{\prime }$ 表示：现在同时进行 $S$ 和 $S^{\prime }$ 两个游戏，两边都不能操作就算输，这样的一个局面。如何描述它呢？

很明显，如果你要走一步，要么走 $S$ 的一个后继，要么走 $S^{\prime }$ 的一个后继。比如说你走了 $S$ 的后继 $s$，那接下来就是 $s$ 和 $S^{\prime }$ 两个游戏同时进行，是一个子结构。另一边同理。因此我们可以写出这样的定义式：

S+S′={ s+S′∣s∈S}∪{ S+s′∣s′∈S′}S+S'=\{s+S'|s\in S\}\cup\{S+s'|s'\in S'\}S+S′={ s+S′∣s∈S}∪{ S+s′∣s′∈S′}

把它递归展开就可以得到 $S+S^{\prime }$ 局面的集合表达了。当然，这一般只用于给出形式化的定义，实际上不会用，因为复杂度爆炸。当我们需要考虑两个局面相加时，通常我们是根据意义来理解这件事情，想象发生了什么，并描述出关系，而不会用它来暴力展开。比如说你可以很容易发现，局面的相加满足交换律和结合律。

局面的等价性：通常在我们研究问题的过程中，如果有两个东西，把一个换成另一个不会影响问题，我们就说它俩等价

局面的等价怎么描述？如果根据输赢，你会发现，只要 $n>0$，$\ast n$ 就是 $N$ 的。但显然我们很有必要关心每一堆里具体有多少石子。因此只根据输赢描述肯定不行。

我们发现问题出在把局面组合起来的时候。因此我们这样描述：对于局面 $G,G^{\prime }$，$\forall H,win(G+H)=win(G^{}$