洛谷 4159 bzoj 1297 [SCOI2009]迷路 题解

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先说一句，矩阵真是太强了，啥玩意都能干。这个题是真的牛逼，做完我仿佛都变成了一个矩阵。

题意简述

给定一个图，$n<=10$，用邻接矩阵给出，每条边的权值是$0,9$之间的整数（$1,9$表示边权，$0$表示不连通）。请你求出从$1$到$n$走边权和为$t$的路径数。

思路

拆点。每个点能联通的只有$9$种边权，所以拆成$9$个点，拆成的点之间大的往小的连边，建出来一个$ 9n\times 9n$的邻接矩阵。把这个矩阵求快速幂得到$t$次方，位于$(1,n)$位置的就是答案了。

具体的思维过程

1. 如果我们的图边权是$0,1$，那么该如何做呢？
2. 如何把我们的图转化成1. 中那个图呢？

step.1 只有0,1的问题

设矩阵$f_i$中的$(x,y)$位置表示：从$x$到$y$边权和为$i$的情况数。那么$f_1$应该就等于初始给定的邻接矩阵。

转移方程：枚举中转点$m$，$f_n(x,y)$=$f_{n-1}(x,m)\times f_1(m,y)$

然后我们发现，这$tm$不就是$f_n=f_{n-1}\times f_1$么（矩阵乘法）。如果还有一点数学基础（或者你没有，但是你对前缀和很熟悉），你会发现，这个式子很容易推出通项$f_n={(f_1)}^n$

所以，在只有$0,1$的图中，我们只要把邻接矩阵看成一个数学上的矩阵，拿矩阵快速幂求一下$t$次方即珂。然后位于$(1,n)$位置的数就是从$1$到$n$边权和为$t$的方案数了。

step.2 转化

我们发现边权只有$10$种，其中联通的还只有$9$种，所以我们把每个点拆成$9$个点。设$p(i,v)$表示点$i$拆出来的第$v$个点。为了节省空间，我们令$v$是$0$到$8$中的整数（虽然理论上它应该是$1$到$9$中的整数）。（看到$p(i,v)$珂别想歪了，我还少一个$x$和一个$i$）。

然后我们还要转换边权。对于同一个$i$，我们令$p(i,v)$到$p(i,v-1)$之间连一条权为$1$的边。对于$u,v$之间一条边权为$w$的边，那就只要从$p(u,0)$往$p(v,w-1)$之间连一条权为$1$的边即珂。我们发现，经过我们刚刚建的那些辅助边，$p(u,0)$到$p(v,0)$之间的间接距离就是$w$，而且我们现在只用了权为$0$和$1$的边。（虽然我说的只有权为$1$的边，但是我没有加上去的边权就是$0$）。

然后现在我们的图由于拆点，就变成了只有$0$和$1$边权的边了。套用刚刚的方法即珂。

具体实现的注意事项

1. 别忘了膜$2009$
2. 拆点的转化公式：$p(i,v)=v\ast n+i$，所以空间复杂度$O(81n)$
3. 开$longlong$

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace Flandre_Scarlet
{
	#define int long long 
	#define mod 2009
	#define F(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
	#define D(i,r,l) for(int i=r;i>=l;--i)
	#define Fs(i,l,r,c) for(int i=l;i<=r;c)
	#define Ds(i,r,l,c) for(int i=r;i>=l;c)
	#define Tra(i,u) for(int i=G.Start(u),__v=G.To(i);~i;i=G.Next(i),__v=G.To(i))
	#define MEM(x,a) memset(x,a,sizeof(x))
	#define FK(x) MEM(x,0)
	class Matrix//square matrix
	{
	    #define N 112//changeable
	    private:
	        int a[N][N];
	    public:
	        //variable list
	        int n;//size
	        //initialization
	        Matrix()
	        {
	            memset(a,0,sizeof(a));
	            n=0;
	        }
	        Matrix(int _n)
	        {
	            memset(a,0,sizeof(a));
	            n=_n;
	        }
	        Matrix(int _n,int _x)
	        {_x%=mod;
	            n=_n;
	            for(int i=0;i<N;++i)
	            {
	                for(int j=0;j<N;++j)
	                {
	                    a[i][j]=_x;
	                }
	            }
	        }
	
	        //get value
	        int* operator[](int i)
	        {
	            return *(a+i);
	        }
	
	        //set value
	        void Set(int x)
	        {x%=mod;
	            for(int i=0;i<N;++i)
	            {
	                for(int j=0;j<N;++j)
	                {
	                    a[i][j]=x;
	                }
	            }
	        }
	        void Identity()
	        {
	            memset(a,0,sizeof(a));
	            for(int i=0;i<N;++i)
	            {
	                a[i][i]=1;
	            }
	        }
	        #undef N //112
	};
	Matrix operator*(Matrix x,Matrix y)
	{
	    Matrix ans(x.n,0);
	    int n=ans.n;
	    for(int i=1;i<=n;++i)
	    {
	        for(int j=1;j<=n;++j)
	        {
	            for(int k=1;k<=n;++k)
	            {
	                ans[i][j]+=x[i][k]*y[k][j];
	                ans[i][j]%=mod;
	            }
	        }
	    }
	    return ans;
	}
	Matrix operator^(Matrix x,int p)
	{
	    Matrix ans(x.n,1);
	    ans.Identity();
	    while(p)
	    {
	        if (p&1) ans=ans*x;
	        x=x*x,p>>=1;
	    }
	    return ans;
	}

	int n,t,a[112][112];
	void Input()
	{
		scanf("%lld%lld",&n,&t);
		F(i,1,n) F(j,1,n)
		{
			scanf("%1lld",&a[i][j]);
		}
	}

	Matrix f(91,0);
	int pos(int i,int v)
	{
		return v*n+i;
	}
	void Soviet()
	{
		F(i,1,n) 
		{
			F(j,1,8) f[pos(i,j)][pos(i,j-1)]=1;

			F(j,1,n)
			{
				int x=a[i][j];
				f[i][pos(j,x-1)]=1;
			}
		}

		f=f^t;
		printf("%lld\n",f[1][n]);
	}
	void IsMyWife()
	{
		Input();
		Soviet();
	}
	#undef int //long long 
}
int main()
{
	Flandre_Scarlet::IsMyWife();
	getchar();getchar();
	return 0;
}