BZOJ 2753 SCOI 2012 滑雪与时间胶囊最小生成树

最新推荐文章于 2020-07-22 23:21:36 发布

16bit戦争

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分类专栏： BZOJ 文章标签： BZOJ MST 最小生成树最小树形图强连通分量

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/jiangyuze831/article/details/41750715

博客讲述了如何解决BZOJ 2753问题，该问题涉及到滑雪路线规划。第一问通过简单的BFS求解，而第二问则需要利用最小生成树的思路。由于图中边是单向的，常规的朱刘算法不适用。作者通过改变边的排序策略，结合高度信息和强连通分量的概念，证明了可以使用MST解决此问题。最终，通过缩点处理和从高到低的SCC分析，实现了O(mlogm)的解决方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意：在滑雪场中，每一个景点有一个高度。现在小明在一号节点。i和j之间有单向边当且仅当i的高度不高于j。问小明最多可以去多少个景点，和最小总费用。

思路：这是一道数学证明的好题。

第一问比较水，直接将可行的边连接起来，然后BFS出解。

第二问就比较难搞了。不难看出，直接用朱刘算法是不可行的，因为朱刘算法的时间复杂度达到了O(mn)，而这个题至少需要一个O(mlogm)的算法。

恩？你说mlogm？难道是最小生成树？但是这图中都是单向边啊。

经过了上网找题解，和同学研究之后，终于弄明白了这题的精髓。简要说明一下做法和正确性。

做法很简单。只需要改变一下边的排序，第一键值为终点的高度，第二键值为边的权值。然后正常跑MST就行了。可这是为什么？

首先明确，在一个高度中，两点之间有边就一定是双向边。那么在一个高度且有边的点会形成一个强连通分量。将所有能够从1遍历到的点进行缩点之后，图会变成以1所在的SCC为起点的可拓扑图（因为高度比1还高的点一定无法到达，所以没有边）。

之后从上向下考虑，每一个SCC的高度一定是一样的。而终点为这个高度的边有两种，一种是从更高处的SCC连到这个高度的SCC的单向边，和这个SCC中的双向边，在处理这一层的时候，可以吧这两种边都看成是无向边，也就可以套用正常的MST了。

CODE：

#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define MAX 2000010
using namespace std;
 
int h[MAX];
 
struct Edge{
    int x,y,length;
     
    bool operator <(const Edge &a) const {
        if(h[y] =